什么叫斐波那契數列？

如果我們把一些數字排成一排，就構成了一個數列。比如最簡單的自然數列：1、2、3、4、5….偶數的數列2、4、6、8…等，后一項與前一項之差是不變的，這種數列稱為等差數列。在比如1、2、4、8、16…這樣的數列，后一項和前一項的比例是不變的，稱為等比數列。

在自然界中，有一個最為神奇、幾百年來一直被人們熱議的數列，那就是“兔子數列”。

斐波那契

在中世紀的歐洲，由于宗教原因，科學和數學的發展非常緩慢。歐洲人還習慣于使用羅馬數字計數。羅馬數字一共有7個數字，分別是：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ（10）、?（50）、?（100）、?（500）和?（1000）。它的計數規則也比較復雜，比如，把兩個數字并排，如果右邊的數字比左邊的數字小，則表示兩個數字相加；如果右邊的數字比左邊的數字大，表示兩個數字想減。此外還有許多復雜的規矩，使用起來非常不方便。

十二世紀時，歐洲數學才有了復蘇的跡象。由于與阿拉伯國家的貿易和十字軍東征等原因，歐洲同阿拉伯世界發生了聯系，發現此時的阿拉伯正在使用1234567890這樣的符號表示數字，十分方便。由于這種數字是從阿拉伯國家學習到的，所以稱為阿拉伯數字。但是實際上，在公元前三世紀，印度人就已經在使用類似的方法表示數字了，阿拉伯數字是印度人發明的。在公元7世紀時，這種數字傳入阿拉伯，后來又通過歐洲傳播到全世界。

斐波那契（也叫做比薩的列奧納多）是一個意大利數學家，年少時隨著父親在北非做生意，學習了阿拉伯數字。1200年他回到了意大利，在1202年寫成了著作《計算之術》，這本書對歐洲的數學界有很大的影響。

兔子數列

在這本書中，斐波那契提出了一個問題：

在第一個月有一對剛出生的小兔子，在第二個月小兔子變成大兔子并開始懷孕，第三個月大兔子會生下一對小兔子，并且以后每個月都會生下一對小兔子。 如果每對兔子都經歷這樣的出生、成熟、生育的過程，并且兔子永遠不死，那么兔子的總數是如何變化的？

我們不妨先來看個圖：

第一個月只有一對兔寶寶，1對兔子。

第二個月兔寶寶變成大兔子，1對兔子。

第三個月大兔子生了一對兔寶寶，一大一小2對兔子。

第四個月大兔子繼續生一對兔寶寶，小兔子變成大兔子。兩大一小3對兔子。

….

我們把這個數列列表

我們發現會發現以下幾個規律：

前一個月的大兔子對數就是下一個月的小兔子對數。

前一個月的大兔子和小兔子對數的和就是下個月大兔子的對數。

按照這個表格，我們會發現無論是小兔子對數、大兔子對數還是總對數，除了最初幾個數字不一樣之外，后面都是按照1、1、2、3、5、8、13…變化的，這個數列就稱為兔子數列或者斐波那契數列。

兔子數列最大的特點就是前兩項之和等于后一項，比如1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13…

我們用an表示一個數列的第n項，那么斐波那契數列的規律就是

這種式子稱為遞推式，也就是說可以從前面一項或幾項，計算出后面一項的式子。再結合前兩項a1=a2=1，就可以得到后面任意一項了。

神奇的數列

也許許多人覺得，斐波那契數列不過是浩如煙海的數學海洋中的一滴水。但是實際上，從這個數列被提出的那一天起，幾百年來人們在許多領域都發現了它的影子。

在數學上，許多求“方法數”的問題，答案都是斐波那契數列。例如：如果我們要上一個N級臺階的樓梯，每次只能走1格或者2格，那么一共有多少種走法呢？

如果只有一級臺階，顯然只有1種走法。

如果有兩級臺階，顯然可以走一步，也可以走兩步，因此有2種走法。

如果有三級臺階，就有如圖所示的3種走法。

1、2、3這三個數字都是斐波那契數。那么，如果有更多臺階怎么辦呢？這就需要遞推式了。

由于一步最多走連兩個臺階，因此要到達第N級臺階，有兩種方案：

走到第N-1級臺階上，然后走1級臺階跨到最上方；

走到第N-2級臺階上，然后一步走兩級臺階跨到最上方。注意，從第N-2級臺階走1級到N-1級臺階這種情況已經計算在第一種情況中計算過了。

我們用a(N-1)和a(N-2)分別表示走到第N-1級和第N-2級臺階的方法數，那么走到第N級臺階的方法數就是：

aN= a(N-1)+ a(N-2)

顯然，這就是斐波那契數列的遞推公式，因此走臺階問題的解剛好是斐波那契數列。

生活中最典型的斐波那契數列應用是在植物學中。

大樹在生長的過程中會長出分枝，如果我們從下到上數分枝個數，就會發現依次是1、1、2、3、5、8、13…等等，剛好是斐波那契數列。有科學家對這種現象的解釋是與兔子繁殖后代相同：每過一段時間老樹枝都會萌發新芽，而新芽成長為成熟的樹枝后也會每隔一段時間萌發一次新芽。

另一個神奇的例子就是向日葵等植物。

如果我們仔細觀察，就會發現向日葵盤內的種子形成兩組螺旋線，一組是順時針的，另一組是逆時針的。而這兩組螺旋線的條數剛好是兩個相鄰的斐波那契數，小向日葵是34和55，大向日葵是144和233。松果種子、菜花表面也有類似的規律。

有科學家認為：這種排列可以使得種子的堆積最密集，最有利于植物繁衍后代。

八百年來，人們在各個領域都發現了斐波那契數列。尤其是十九世紀開始，人們發現了斐波那契數列在計算機、物理、化學等領域的應用，這個古老的數列煥發了新的青春。1963年，斐波那契協會成立，并出版了《斐波那契季刊》用以刊登與斐波那契數列相關的研究成果。