一元二次方程與勾股定理類型？

（一）傳播問題

等量關系：傳播源的數量+第一輪被傳播的數量+第二輪被傳播的數量+……=n輪傳播的總數量 [公式：a（1+x）n中a—傳播源的數量，b—n輪傳播后的總數量，x—每一輪的平均傳播率，n—傳播的輪數]

例：有兩名大學生為了豐富居民的業余生活，分別在兩居民區義務指導廣場舞，經過大家的兩輪廣泛傳播后，共有242名居民學會了跳舞，問每輪傳播中平均1人傳播給了多少人跳舞？

分析：設每輪傳播中平均1人傳播給了人跳舞，則第一輪被兩名大學生傳播跳舞的人數為2x人，所以第一輪后共有（2+2x）人即[2（1+x）]人已學會了跳舞，在第二輪傳播中傳播源的數量變為[2（1+x）]人，其傳播給了[2（1+x）]人，即第二輪傳播后共有[2（1+x）+2（1+x）x]人，即[2（1+x）2]人學會了跳舞，故可列方程為2（1+x）2=242

（二）增長率、下降率問題

公式：a（1+x）n=b中a—變化前數量，b—變化后數量，x—增長率或下降率，n—數據變化的輪數

例：某銀行經過最近的兩次降息，使一年期存款的年利率由2.25﹪降至1.98﹪，平均每次降息的百分率是多少？（結果寫成a﹪的形式，其中保留小數點后兩位）

分析：降息前年利率為2.25﹪，經過兩次降息年利率變為1.98﹪，故可設平均每次降息的百分率為，則依公式可得2.25﹪（1+x）2=1.98﹪

二、比賽問題（或賀卡問題）

公式：x（x-1）總數量（可重復）或x（x-1）總數量（不可重復）中x—參賽的隊數

例1：某俱樂部要舉辦一次籃球比賽，賽制定為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排15場比賽，應邀請多少個球隊參加比賽？

分析：典型的不可重復比賽問題，故可直接套用公式，列方程為x（x-1）=15

例2：生物興趣小組的同學將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，問該興趣小組共有多少名同學？

分析：此問題可歸結為不可重復的比賽問題，故可直接為x（x-1）182

三、銷售問題

公式：售價-進價=利潤，一件商品的利潤×銷售數量=總利潤，×100﹪=利潤率（盈利時為正，虧損時為負）

例：某商場一次出售兩臺不同品牌的電視機，其中一臺賺了12﹪，另一臺賠了12﹪，且這次出售的兩臺電視機的價格均為3080元，那么在這次買賣中，商場利潤情況如何？

分析：問商場利潤如何，需計算每件商品的利潤分別為多少，再求出利潤和，若利潤和為正則為盈利，反之為虧損。可設進價為元，依公式“×100﹪=利潤率”直接計算出進價，從而求和。

四、幾何問題

這類問題往往要利用幾何圖形的構成特點及一些基本圖形的周長、面積計算公式，巧妙借助等量變換，簡化圖形形成，從而解決問題。

例1：在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑兩條同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540㎡，求道路的寬。

分析：此類問題的特點是修筑小路的面積只與小路的寬度和長度有關，而與位置無關，因此可將小路進行適當的平移，得到簡化圖形。設小路寬為m，依“要使草坪的面積為540㎡”這一等量關系，列方程（32-x）（20-x）=540求解。

五、一元二次方程應用題的類型還有數字問題、工程問題、速度問題

例1：直角三角形的兩條直角邊的比是3：4，而斜邊長等于10cm，那么這個直角三角形的面積等于多少？

分析：解直角三角形時，往往勾股定理以隱含條件的形式備用，此題已直接給出“直角三角形的兩條直角邊的比是3：4”這一等量關系，與勾股定理相比后者較為簡單，依其所涉及的兩個量，即兩條直角邊，可分別設其為3xcm、4xcm，再依勾股定理可列方程（3x）2+（4x）2=102，求出兩直角邊，進而求出面積。

例2：用一塊長方形的鐵片，在它的四個角上各減去一個 邊長是4cm的小正方形，然后把四邊折起來，恰好做成一個沒有蓋的盒子，已知鐵片的長是寬的2倍，做成盒子的容積是1536，求這塊鐵片的長和寬。

分析：此題可容易找出兩個等量關系：“鐵片的長是寬的2倍”及“做成盒子的容積是1536”，相比前者數量關系更為簡單，故設鐵片的寬為xcm，則長為2xcm，做成的盒子的底面積就是圖中虛線的長方形面積：（2x-4-4）（x-4-4）cm2即（2x-8）（x-8）cm2。盒子的高應等于小正方形的邊長4cm，盒子的容積可依“做成盒子的容積是1536”這一等量關系列出方程4（2x-8）（x-8）=1536求解。

總之，我們在解一元二次方程應用題時一定要審清題意，抓住關鍵，充分利用等量關系（包括隱含的等量關系），明確設計意圖，進而列出合理方程求解。