高等數學在整個數學中是什么等級的難度？

我來回答這個問題，數學，發展到了高等數學階段以后，可以說是“開了掛”，很多原來解決不了的問題都迎刃而解了，而且高等數學對很多問題的看法也和初等數學不一樣，于是就有人說，不要管初等數學了，來搞高等數學吧。我并不是反對這種說法，但是我要補充兩句，那就是，初等數學學不好，是沒法學高等數學的，而高等數學也沒那么神秘。

先說第一句。我能想到的最直接的例子就是導數公式，比如正弦函數的導數是什么？怎么推導？這里需要用到和差化積公式，算不算是初等數學？另外一個例子則是二階常微分方程，在解法上和一元二次方程關系密切，而后者是典型的初中知識。不僅如此，我們還需要初等數學對代數式進行各種處理。比如說，當我們要對三角函數或者分式函數積分的時候。類似的例子當然還可以舉出很多。

下面再說高等數學不神秘。很多人感覺線性代數很難，其實在我看來，這就是普通的平面（和立體）坐標系里相關知識的 進一步推廣。其中至少平面坐標系是我們在中學早就熟悉了的，也早就用來研究各種幾何問題了。如果你在學線性代數的時候，腦子里有平面坐標系作例子，能夠時刻注意到二者的聯系和區別，是不是感覺就容易多了呢？說到底，你所覺得的“難”，是因為你只停留在教材原文上，始終在一大堆定義、性質的文字敘述里打轉轉。記得華羅庚老先生曾經要求大家讀書的時候要把書“從薄讀到厚再從厚讀到薄”，這里的“從薄讀到厚”就是說你要帶著具體例子去理解教材。再以二項式定理為例，如果你僅研究正整數指數的情況，那僅用排列組合的知識就可以了，可是如果你把它引申到任意指數，那就開啟了“泰勒展式”的大門，而據說，當年牛頓等人研究微積分的時候，二項式定理曾經是個重要的工具。

有人也許會說，你舉的這些例子都太淺了，但是，即使再高深的東西都是由淺入深逐步發展而來的。我再舉一個完全是初等數學的例子。好像現在初中都不講余弦定理了？但其實只要學生學過勾股定理，而且了解任意角的三角函數定義，是很容易自己推出公式的。這是二者相聯系的一方面，而另一方面，余弦定理比勾股定理適用范圍要廣得多，威力大得多，而且這里的關鍵思想——由銳角推廣到任意角的三角函數——學生不容易想到，即使你直接告訴學生了，學生也不容易想到要推廣勾股定理——除非你給學生出一道要求用字母計算斜三角形的題目。我的意思是，高等數學和初等數學之間的關系，很多時候也像余弦定理和勾股定理的關系，往往關鍵的進展只有一步，但這一步往往很難，這就是教材和老師的作用了。