二分之一的階乘得多少？

首先階乘最初是定義在自然數(shù)域的：

初值：0！=1

遞推：n！=n*(n-1)！

其次，階乘確實(shí)可以擴(kuò)張到整個(gè)實(shí)數(shù)域（甚至復(fù)數(shù)域），仍然滿足上述初值和遞推公式，除了在負(fù)整數(shù)處無定義外（±∞），別的都有確定值。

沒錯(cuò)，這又是大神歐拉的杰作！

其實(shí)…如果有提示，也不是很難想到… 我們可以定義一個(gè)積分函數(shù)：

Γ(x+1)=∫?∞y?e??dy

不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)Γ（伽馬）函數(shù)符合上述遞推公式，也符合初值，所以我們可以把階乘延拓到整個(gè)復(fù)數(shù)域：

x！=Γ(x+1)=∫?∞y?e??dy

具體到題目所問的 ?！，有：

?！=Γ(1?)=∫?∞(√y)*e??dy=(√π)/2

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后面這個(gè)定積分的具體解法也不難，換元 y=x2，則：

∫?∞(√y)*e??dy

=∫?∞x*e??2dx2

=∫?∞2x2*e??2dx

=∫?∞-x*d(e??2)dx

= |?∞-x*e??2+∫?∞e??2dx

=∫?∞e??2dx

=（√π）/2

最后這一步就是著名的（高斯）正態(tài)函數(shù)定積分，用經(jīng)典的二重積分+極坐標(biāo)換元可解：

G(x)=∫±∞e??2dx。則：

G2=?e??2??2dxdy，極坐標(biāo)換元有：

G2=?(e^-ρ2)ρdρdθ

=（-?∫d(e^-ρ2)dρ）*（∫dθ）

=（-? |?∞e^-ρ2）*2π

= π