誰能給幾道小升初必考的比較有難度的奧數題？

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2011奇數與偶數

通常我們所說的“單數”、“雙數”，也就是奇數和偶數，即±1，±3，±5，?是奇數，

0，±2，±4，±6，?是偶數．

用整除的術語來說就是：能被2 整除的整數是偶數，不能被2 整除的整數是奇數．通常

奇數可以表示為2k+1(或2k-1)的形式，其中k 為整數，偶數可以表示為2k 的形式，其中k

是整數．

奇數和偶數有以下基本性質：

性質 1 奇數≠偶數．

性質 2 奇數±奇數=偶數，偶數±偶數=偶數，奇數±偶數=奇數．

性質 3 奇數×奇數=奇數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數．

性質 4 奇數個奇數之和是奇數；偶數個奇數之和是偶數；任意有限個偶數之和為偶數．

性質 5 若干個奇數的乘積是奇數，偶數與整數的乘積是偶數．

性質 6 如果若干個整數的乘積是奇數，那么其中每一個因子都是奇數；如果若干個整

數的乘積是偶數，那么其中至少有一個因子是偶數．

性質 7 如果兩個整數的和(或差)是偶數，那么這兩個整數的奇偶性相同；如果兩個整數

的和(或差)是奇數，那么這兩個整數一定是一奇一偶．

性質 8 兩個整數的和與差的奇偶性相同．

性質 9 奇數的平方除以8 余1，偶數的平方是4 的倍數.

性質 1 至性質6 的證明是很容易的，下面我們給出性質7 至性質9 的證明．

性質 7 的證明設兩個整數的和是偶數，如果這兩個整數為一奇一偶，那么由性質2 知，

它們的和為奇數，因此它們同為奇數或同為偶數．

同理兩個整數的和(或差)是奇數時，這兩個數一定是一奇一偶．

性質 8 的證明設兩個整數為 X，y．因為

(x+y)+(x-y)=2x

為偶數，由性質 7 便知，x+y 與x-y 同奇偶．

性質 9 的證明若 x 是奇數，設x=2k+1，其中k 為整數，于是

x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．

因為 k 與k+1 是兩個連續的整數，它們必定一奇一偶，從而它們的乘積是偶數．于是，

x2 除以8 余1．

若 y 是偶數，設y=2t，其中t 為整數，于是

y2=(2t)2=4t2

所以，y2 是4 的倍數．

例 1 在1，2，3，?，1998 中的每一個數的前面，任意添上一個“+”或“-”，那么最

后運算的結果是奇數還是偶數？

解 由性質 8 知，這最后運算所得的奇偶性同

1+2+3+?+1998=999×1999

的奇偶性是相同的，即為奇數．

例 2 設1，2，3，?，9 的任一排列為a1，a2，?，a9.求證：(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是一個

偶數．

證法 1 因為

(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+?+(a9-9)

＝(a1+a2+?+a9)-(1+2+?+9)

=0

是偶數，所以，(a1-1)，(a2-2)，?，(a9-9)這_______9 個數中必定有一個是偶數(否則，便得奇

數個(9 個)奇數的和為偶數，與性質4 矛盾)，從而由性質5 知

(a1-1)(a2-2)?(a9-9)

是偶數．

證法 2 由于1，2，?，9 中只有4 個偶數，所以a1，a3，a5，a7，a9 中至少有一個是奇

數，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9 至少有一個是偶數，從而(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是偶數．

例 3 有n 個數x1，x2，?，xn，它們中的每一個數或者為1，或者為-1．如果

x1x2+x2x3+?+xn-1xn+xnx1=0，

求證：n 是4 的倍數．

證 我們先證明 n=2k 為偶數，再證k 也是偶數．

由于 x1，x2，?，xn。的絕對值都是1，所以，x1x2，x2x3，?，xnx1 的絕對值也都是1，

即它們或者為+1，或者為-1．設其中有k 個-1，由于總和為0，故+1 也有k 個，從而n=2k．

下面我們來考慮(x1x2)?(x2x3)?(xnx1)．一方面，有(x1x2)?(x2x3)?(xnx1)＝(-1)k，

另一方面，有

(x1x2)?(x2x3)?(xnx1)=(x1x2?xn)2=1．

所以(-1)k=1，故k 是偶數，從而n 是4 的倍數．

例 4 設a，b 是自然數，且滿足關系式

(11111+a)(11111-b)=123456789．

求證：a-b 是4 的倍數．

證 由已知條件可得 11111+a 與11111-b 均為奇數，所以a，b 均為偶數．又由已知條件

11111(a-b)=ab+2468，①

ab 是4 的倍數，2468=4×617 也是4 的倍數，所以11111×(a-b)是4 的倍數，故a-b 是

4 的倍數.

例 5 某次數學競賽，共有40 道選擇題，規定答對一題得5 分，不答得1 分，答錯倒扣

1 分．證明：不論有多少人參賽，全體學生的得分總和一定是偶數．

證 我們證明每一個學生的得分都是偶數．

設某個學生答對了 a 道題，答錯了b 道題，那么還有40-a-b 道題沒有答．于是此人的

得分是

5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，

這是一個偶數．

所以，不論有多少人參賽，全體學生的得分總和一定是偶數．

例 6 證明15 塊4×1 的矩形骨牌和1 塊2×2 的正方形骨牌不能蓋住8×8 的正方形.

證 將 8×8 正方形的小方格用黑、白色涂色(如圖1－62)．每一塊4×1 骨牌不論怎么鋪

設都恰好蓋住兩個白格，因此15 塊4×1 的骨牌能蓋住偶數個白格．一塊2×2 的骨牌只能

蓋住一個白格或三個白格，總之能蓋住奇數個白格．于是15 塊4×1 骨牌和一塊2×2 骨牌

在圖上蓋住的白格是奇數個．事實上圖上的白格數恰為偶數個，故不能蓋住8×8 的正方形．

練習：

1．設有101 個自然數，記為a1，a2，?，a101．已知a1+2a2+3a3+?+100a100+101a101=s

是偶數，求證：a1+a3+a5+?+a99+a101 是偶數．

2．設x1，x2，?，x1998 都是+1 或者-1．求證：

x1+2x2+3x3+?+1998x1998≠0．

3．設x1，x2，?，xn(n＞4)為1 或-1，并且

x1x2x3x4+x2x3x4x5+?+xnx1x2x3=0．

求證：n 是4 的倍數．

4．(1)任意重排某一自然數的所有數字，求證：所得數與原數之和不等于99?9(共n 個

9，n 是奇數)；

(2)重排某一數的所有數字，并把所得數與原數相加，求證：如果這個和等于1010，那

么原數能被10 整除．

5．(1)有n 個整數，其和為零，其積為n．求證：n 是4 的倍數；

(2)設n 是4 的倍數，求證：可以找到n 個整數，其積為n，其和為零．

6．7 個杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻轉4 個杯子(杯口朝下的翻為杯口朝上，杯口

朝上的翻為杯口朝下)，問經過若干次這樣的翻動，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？

7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5 這10 個數排成一行，使得兩個1 中間夾著

1 個數，兩個2 之間夾著2 個數，?，兩個5 之間夾著5 個數？

奇數和偶數

時間:2008-11-29 09:01 點擊: 620次

整數中，能被2整除的數是偶數，反之是奇數，偶數可用 2k表示 ，奇數可用2k+1表示，這里k是整數 . 關于奇數和偶數，有下面的性質：（1）奇數不會同時是偶數；兩個連續整數中必是一個奇數一個偶數；（2）奇數個奇數和是奇數；偶數個奇數的和是偶數；任意多個偶數的和是偶

整數中，能被2整除的數是偶數，反之是奇數，偶數可用 2k表示 ，奇數可用2k+1表示，這里k是整數 .

關于奇數和偶數，有下面的性質：

（1）奇數不會同時是偶數；兩個連續整數中必是一個奇數一個偶數；

（2）奇數個奇數和是奇數；偶數個奇數的和是偶數；任意多個偶數的和是偶數；

（3）兩個奇（偶）數的差是偶數；一個偶數與一個奇數的差是奇數；

（4）若a、 b為整數，則a+b與a-b有相同的奇數偶；

（5）n個奇數的乘積是奇數， n個偶數的乘積是2n的倍數；順式中有一個是偶數，則乘積是偶數 .

以上性質簡單明了，解題時如果能巧妙應用，常常可以出奇制勝.

1. 代數式中的奇偶問題

例1（第2屆 “華羅庚金杯”決賽題）下列每個算式中，最少有一個奇數，一個偶數，那么這 12個整數中，至少有幾個偶數？

□+□=□ ， □-□=□，

□×□ ＝□ □÷□＝□.

解 因為加法和減法算式中至少各有一個偶數，乘法和除法算式中至少各有二個偶數，故這 12個整數中至少有六個偶數.

例2 （第 1屆“祖沖之杯”數學邀請賽）已知 n是偶數，m是奇數，方程組

是整數，那么

（A）p、 q都是偶數. （B）p、q都是奇數 .

（C）p是偶數， q是奇數 （D）p是奇數， q是偶數

分析 由于 1988y是偶數，由第一方程知p=x=n+1988y，所以 p是偶數，將其代入第二方程中，于是11x也為偶數，從而 27y=m-11x為奇數，所以是y=q奇數，應選（ C）

例3 在 1，2，3…， 1992前面任意添上一個正號和負號，它們的代數和是奇數還是偶數.

分析 因為兩個整數之和與這兩個整數之差的奇偶性相同，所以在題設數字前面都添上正號和負號不改變其奇偶性，而 1+2+3+…+1992= =996×1993為偶數 于是題設的代數和應為偶數.

2. 與整除有關的問題

例4（首屆 “華羅庚金杯”決賽題）70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的 3倍都恰好等于它兩邊兩個數的和，這一行最左邊的幾個數是這樣的：0， 1，3，8， 21，….問最右邊的一個數被6除余幾？

解 設 70個數依次為a1,a2,a3據題意有

a1=0, 偶

a2=1 奇

a3=3a2-a1, 奇

a4=3a3-a2, 偶

a5=3a4-a3, 奇

a6=3a5-a4, 奇

………………

由此可知：

當n被3除余1時， an是偶數；

當n被3除余 0時，或余2時，an是奇數，顯然 a70是3k+1型偶數，所以 k必須是奇數，令k=2n+1，則

a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.

解 設十位數，五個奇數位數字之和為 a，五個偶數位之和為b(10≤a≤35,10≤b≤35)，則 a+b=45，又十位數能被11整除，則a-b應為 0，11，22（為什么？） .由于a+b與a-b有相同的奇偶性，因此 a-b=11即a=28，b=17.

要排最大的十位數，妨先排出前四位數9876，由于偶數位五個數字之和是 17，現在8+6=14，偶數位其它三個數字之和只能是 17-14=3，這三個數字只能是2，1， 0.

故所求的十位數是9876524130.

例6（1990年日本高考數學試題）設 a、b是自然數，且有關系式

123456789= （11111+a）（11111-b）， ①

證明a-b是 4的倍數.

證明 由 ①式可知

11111 （a-b）=ab+4×617 ②

∵a ＞0,b＞0,∴a-b＞ 0

首先，易知a-b是偶數，否則 11111(a-b)是奇數，從而知ab是奇數，進而知 a、b都是奇數，可知(11111+a)及 (11111-b)都為偶數，這與式①矛盾

其次，從a-b是偶數，根據 ②可知ab是偶數，進而易知a、 b皆為偶數，從而ab+4×617是4的倍數，由 ②知a-b是4的倍數 .

3. 圖表中奇與偶

例7（第10屆全俄中學生數學競賽試題）在 3×3的正方格（a）和（b）中，每格填 “+”或“-”的符號，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重復若干次這樣的 “變號”程序后，能否從一張表變化為另一張表 .

解 按題設程序，這是不可能做到的，考察下面填法：

在黑板所示的2×2的正方形表格中，按題設程序“變號 ”，“+”號或者不變，或者變成兩個.

表(a)中小正方形有四個 “+”號，實施變號步驟后，“+”的個數仍是偶數；但表 (b)中小正方形“+”號的個數仍是奇數，故它不能從一個變化到另一個 .

顯然，小正方形互變無法實現，3×3的大正方形的互變，更無法實現 .

例8（第36屆美國中學生數學競賽試題）將奇正數 1，3，5， 7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，從左數起是第幾列？（此處無表）

解 由表格可知，每行有四個正奇數，而 1985=4×496+1，因此1985是第 497行的第一個數，又奇數行的第一個數位于第二列，偶數行的第一個數位于第四列，所以從左數起， 1985在第二列.

例9 如圖 3-1，設線段AB的兩個端點中，一個是紅點，一個是綠點，在線段中插入 n個分點，把AB分成n+1個不重疊的小線段，如果這些小線段的兩個端點一個為紅點而另一個為綠點的話，則稱它為標準線段 .

證明 不論分點如何選取，標準線段的條路總是奇數 .

分析 n個分點的位置無關緊要，感興趣的只是紅點還是綠點，現用 A、B分別表示紅、綠點；

不難看出：分點每改變一次字母就得到一條標準線段，并且從A點開始，每連續改變兩次又回到 A，現在最后一個字母是B，故共改變了奇數次，所以標準線段的條數必為奇數 .

4. 有趣的應用題

例 10（第 2屆“從小愛數學”賽題）圖 3-2是某一個淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.

（1）如果 P點在岸上，那么A點在岸上還是在水中？

（2）某人過這湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋 .如果有一點B，他脫鞋垢次數與穿鞋的次數和是個奇數，那么 B點是在岸上還是在水中？說明理由.

解 （ 1）連結AP，顯然與曲線的交點數是個奇數，因而 A點必在水中.

（2）從水中經過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數和為 2，由于 A點在水中，氫不管怎樣走，走在水中時，脫鞋、穿鞋的次數的和總是偶數，可見 B點必在岸上.

例11 書店有單價為 10分，15分，25分， 40分的四種賀年片，小華花了幾張一元錢，正好買了30張，其中某兩種各 5張，另兩種各10張，問小華買賀年片花去多少錢？

分析 設買的賀年片分別為 a、b、c、 d（張），用去k張1元的人民幣，依題意有

10a+15b+25c+40d=100k,(k 為正整數)

即 2a+3b+5c+8d=20k

顯然b、c有相同的奇偶性 .

若同為偶數，b-c=10 和 a=b=5， 不是整數；

若同為奇數，b=c=5和 a=d=10,k=7.

例12 一個矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若干方形門或圓形門相通，僅在進出展覽廳的出入口處有若干門與廳外相通，試證明：任何一個參觀者選擇任何路線任意參觀若干個展覽室（可重復）之后回到廳外，他經過的方形門的次數與圓形門的次數（重復經過的重復計算）之差總是偶數 .

證明 給出入口處展覽室記 “+”號，凡與“+”相鄰的展覽室記“-”號，凡與 “-”號相鄰的展覽室都記“+”號，如此則相鄰兩室的 “+”、“-”號都不同.

一參觀者從出入口處的“+”號室進入廳內，走過若干個展覽室又回到入口處的 “+”號室，他的路線是+-+-…+-+-，即從 “+”號室起到“+”號室止，中間“-”、 “+”號室為n+1（重復經過的重復計算），即共走了 2n+1室，于是參觀者從廳外進去參觀后又回到廳外共走過了2n+2個門（包括進出出入口門各 1次）.設其經過的方形門的次數是r次，經過圓形門的次數是 s，則s+r=2n+2為偶數，故r-s也為偶數，所以命題結論成立 .

例13 有一無窮小數 A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中 ai(i=1,2)是數字，并且a1是奇數， a2是偶數，a3等于 a1+a2的個位數…， an+2是an+an+1(n=1,2…,)的個位數，證明 A是有理數.

證明 為證明 A是有理數，只要證明A是循環小數即可，由題意知無窮小數 A的每一個數字是由這個數字的前面的兩位數字決定的，若某兩個數字ab重復出現了，即 0.…ab…ab…此小數就開始循環.

而無窮小數A的各位數字有如下的奇偶性規律：

A=0. 奇偶奇奇偶奇奇偶奇……

又a是奇數可取 1，3，5， 7，9；

b 是偶數可取0，2， 4，6，8.

所以非負有序實數對一共只有25個是不相同的，在構成 A的前25個奇偶數組中，至少出現兩組是完全相同的，這就證得 A是一循環小數，即A