數(shù)列求和的十二種方法？

01

先判斷要用哪一種求和方法，從遞推公式，推出通項公式的方法，一般是累加，累乘。進而用求和公式求和

02

接著套用公式

錯位相減求和:

形如An=BnCn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列；分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數(shù)列的公比，即kSn；然后錯一位，兩式相減即可。

例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

當x=1時，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；

當x不等于1時，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

兩式相減得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；

化簡得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

兩邊同時乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，這樣寫看的更清楚些）

兩式相減

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

裂項求和

裂項求和與倒序相加、錯位相減、分組求和等方法一樣，是解決一些特殊數(shù)列的求和問題的常用方法.這些獨具特點的方法,就單個而言,確實精巧,

例子：

求和：1/2+1/6+1/12+1/20

＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)1/(4*5)

＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)

＝1-1/5=4/5

分組求和

就是當CN=AN+BN是，AN為等差數(shù)列，BN為等比數(shù)列。求CN的前N項和TN

TN為 AN的前N項和SN加上BN的前N項和QN。SN和QN都用公式求。TN就很好解了。

倒序相加求和

其實簡單的例子就是推等差數(shù)列前N項和的例子了。

SN＝A1+A2+……AN

SN=AN+A(N-1)+……A1

2SN=N(AN+A1)

SN=N(AN+A1)/2