一個數(shù)的n次方相加的和怎么算？

1+2+...+n=n(n+1)/2

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2=[n(n+1)/2]^2

對于這些沒有統(tǒng)一的公式

但是我們可以推導(dǎo)出來

主要使用差量法推導(dǎo)

下面舉一例：

公式：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

證明：

給個算術(shù)的差量法求

我們知道(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1,可以得到下列等式：

2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1

3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1

4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1

.

(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1

以上式子相加得到

(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n

其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + .+ n^2

化簡整理得到：

Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6