圓的面積用極限怎么證明？

以圓的正n邊形表示圓的面積:設圓的半徑為r,內接一個正n邊形,它的任意一邊所對的圓心角為2π/n,先算出其中一個三角形的面積(用兩邊夾角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到這個正n六邊形的面積:Sn=(n/2)r2sin(2π/n)當n無限增大時,內接正n邊形的形狀無限接近于圓,它的面積也無限接近圓的面積.求這個極限要用一高等數學中一個重要的極限公式(函數的極限):當x→0時,lim[(sinx)/x]=1[題外話:這個極限的幾何意義是,當x無限減小時,y=sinx的圖象與直線y=x是重合的,在這種情況下,我們可以用x的值來代替sinx,以在某些領域做近似計算]把Sn變形:Sn=πr2lim[sin(2π/n)/(2π/n)

]于是,當n→∞時,2π/n→0lim[sin(2π/n)/(2π/n)]=1Sn=πr2