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為什么任意數(shù)列都有規(guī)律

為什么任意數(shù)列都有規(guī)律?

數(shù)列如有序,就皆有規(guī)律。特別的數(shù)列,就有特別規(guī)律

前面已介紹了,關(guān)于幾類(lèi)基本數(shù)列的基本規(guī)律及其解題基本方法。現(xiàn)代數(shù)論更多地注重有特色的數(shù)列的特殊規(guī)律及特別方法和技巧。這些數(shù)論涉及特類(lèi)數(shù)列、特別規(guī)則、特殊方法,如下:

特類(lèi)數(shù)列:

素?cái)?shù)數(shù)列,平方冪數(shù)列,立方冪數(shù)列,無(wú)理數(shù)數(shù)列;……。有關(guān)的猜想,如:,歌德巴赫猜想、歐拉猜想、黎曼猜想,等等。

特別規(guī)則:

首項(xiàng)、通項(xiàng)公式、中項(xiàng)公式,求和公式(級(jí)數(shù))、與求積公式(階乘)、冪之和與冪之積的關(guān)系……。有關(guān)的猜想,如:畢達(dá)哥拉斯定,費(fèi)爾馬定理、費(fèi)爾馬大定理,等等。

特殊方法:

自然數(shù)列是無(wú)限遞增數(shù)列,它的項(xiàng)目和數(shù)目也是無(wú)限多的;因此,自然數(shù)集合的的全集所有元素個(gè)數(shù)也是無(wú)限的。但人們?cè)诓煌瑮l件下,去認(rèn)識(shí)“無(wú)限”對(duì)象時(shí),總是受到條件的局限,只能是有限度的去認(rèn)識(shí)。因而,往往截取自然數(shù)列的某一有限區(qū)間、或幾個(gè)段間的數(shù)據(jù),作對(duì)較分析,尋覓其趨勢(shì)與規(guī)律性。也往往從無(wú)限的自然數(shù)集中提取有限的數(shù)群,作為子集,進(jìn)行排列組合,了解其共性與個(gè)性。

然后,再綜合歸納對(duì)有限區(qū)間的局部的認(rèn)識(shí),總結(jié)帶規(guī)律性認(rèn)識(shí),再遞推到更大的范圍和更大的群體。由局部到整體,由有界的區(qū)間內(nèi)、延伸到區(qū)間界外,由個(gè)別到一般,由特殊到普遍,不斷擴(kuò)展、加深認(rèn)識(shí)的成果。

求和公式(級(jí)數(shù))、與求積公式(階乘)、冪之和與冪之積的關(guān)系……。勾股定理、平面坐標(biāo)法,解方程式、解函數(shù)式,求極值、求導(dǎo)數(shù),微分法、積分法……等等。大都是這樣發(fā)現(xiàn)和確的。

例如,求自然數(shù)列之和、之積的方法與公式:

求數(shù)列之和,就是將數(shù)列逐項(xiàng)連加起來(lái)結(jié)果:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+……+n=(1+n)*n/2;

求數(shù)列之積,就是將數(shù)列逐項(xiàng)連乘起來(lái)結(jié)果:

1*2*3*4*5*6*7*8*9*……*n = n!(階乘)