韋達定理的n次方表達式？

韋達定理(Weda's

Theorem):

一元二次方程ax^2+bx+c

(a不為0)中

設(shè)兩個根為x和y

則x+y=-b/a

xy=c/a

韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個n次方程∑AiX^i=0

它的根記作X1,X2…,Xn

我們有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，∏是求積。

如果一元二次方程

在復數(shù)集中的根是，那么

法國數(shù)學家韋達最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論性。

由代數(shù)基本定理可推得：任何一元

n

次方程

在復數(shù)集中必有根。因此，該方程的左端可以在復數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積：

其中是該方程的個根。兩端比較系數(shù)即得韋達定理。

韋達定理在方程論中有著廣泛的應(yīng)用。

定理的證明

設(shè)<math>x_1</math>，<math>x_2</math>是一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0</math>的兩個解，且不妨令<math>x_1

\ge

x_2</math>。根據(jù)求根公式，有

<math>x_1=\frac{-b

+

\sqrt

{b^2-4ac}}</math>，<math>x_2=\frac{-b

-

\sqrt

{b^2-4ac}}</math>

所以

<math>x_1+x_2=\frac{-b

+

\sqrt

{b^2-4ac}

+

\left

(-b

\right)

-

\sqrt

{b^2-4ac}}

=-\frac</math>，

<math>x_1x_2=\frac{

\left

(-b

+

\sqrt

{b^2-4ac}

\right)

\left

(-b

-

\sqrt

{b^2-4ac}

\right)}{\left

(2a

\right)^2}

=\frac</math>