千年的質數公式會不會非常簡單？

古希臘數學家歐幾里得于公元前 300 年前后證明有無限多個素數存在以來，至今科學家仍未發現可以完全區別素數與合數的公式。還有許多有關素數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想。

讓人魂牽夢繞的素數定理

幾百年來，一個問題引發了許多數學家的思考：既然素數很重要，能不能有某種規則，來產生素數？遺憾的是，這樣的規則一直未被發現。

當大家在尋找素數的時候，發現隨著數越來越大，素數越來越少。比如100以內有25個素數，1000以內有168個素數，1000000以內只有78498個。為什么1000以內是168個素數，而不是158個或178個？有沒有一個公式或規則，能告訴我們，小于一個給定數的素數有多少個？

這個問題正是黎曼在1859年被柏林科學院任命為通信院士后向科學院提交的一篇論文，題目為《論小于某給定值的素數的個數》。

事實上，關于素數分布的問題在更早些時候已經引起了數學大家如歐拉和高斯的關注。高斯就曾給出了素數分布規律的猜想。他認為：

這一發現可以被看作是探索未知的經典案例，需要有超凡的毅力（設想一下在沒有計算機的年代求幾千萬以內的素數）和洞察力。不妨從下表的素數個數開始。看上去沒有什么規律，只能看出隨著N的增大，小于N的素數密度逐漸稀疏。

我們不妨嘗試觀察一下這個密度到底如何變化，不妨取密度的倒數N/π(N)，如下表。稍微有一點找規律經驗的人大概就看出來隨著N以指數速度遞增，N/π(N)大致是以固定的步長遞增。

指數函數和等差的關系，稍微學過一點中等數學的人就能知道，將指數函數取對數，那就變成線性函數了。下表給出了lnN和N/π(N)的對比。

看上去是不是很簡單？確實，但如果你覺得這么簡單的規律你也可以發現和總結，那就錯了。僅靠一支筆和一張紙，求出1000000000以內的質數，要不你試試？ 據說當年15歲的高斯沒事的時候就是算素數玩，你行嗎？

這個被冠以“素數定理”的命題得到了高斯、勒讓德、狄利克雷、黎曼、切比雪夫、塞爾貝格、愛爾特希(Paul Erdos)和阿達馬(Hadmard)等眾多數學大家的重視。據說無論誰證明了素數定理，都將得到永生。

數學家幾千年來一直對素數的相關猜想著迷，前赴后繼有很多數學家都在這些關于素數的孜孜不倦的探索者。著名的哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、黎曼猜想都是關于素數規律的猜想。數學家們一直苦于沒有找到一個素數公式，導致這些猜想依舊是世界難題，至今沒有解決。

黎曼猜想,通往質數的征途

1900年，大數學家希爾伯特（Hilbert）在巴黎舉辦的第二屆國際數學家大會上提出了23個數學問題，它為整個二十世紀的數學發展指明了方向。時過境遷，值千禧年之際，美國克雷研究所提出了7個世紀性的數學難題，并慷慨地為每個問題設置了100萬美元的獎金。

當我們回顧這次跨越時空的呼應時，卻發現有一個共同的問題，并且已經伴隨著數學家們走過了滄桑百年的歷程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。

黎曼猜想究竟有何神奇之處，竟讓如此多的數學家為此癡迷和魂牽夢繞？在它那里，又藏著怎樣驚世駭俗的秘密？破譯這樣一個難題，真的會給數學和世界帶來激動人心的改變嗎？

1.質數探索

在自然數序列中，質數就是那些只能被1和自身整除的整數，比如2，3，5，7，11等等都是質數。4，6，8，9等等都不是質數。由于每個自然數都可以唯一地分解成有限個質數的乘積，因此在某種程度上，質數構成了自然數體系的基石，就好比原子是物質世界的基礎一樣。

人們對質數的興趣可以追溯到古希臘時期，彼時歐幾里得用反證法證明了自然數中存在著無窮多個質數，但是對質數的分布規律卻毫無頭緒。隨著研究的深入，人們愈發對行蹤詭異的質數感到費解。這些特立獨行的質數，在自然數的汪洋大海里不時拋頭露面后，給千辛萬苦抵達這里的人們留下驚嘆后，又再次揚長而去。

1737年，瑞士的天才數學家歐拉（Euler）發表了歐拉乘積公式。在這個公式中，如鬼魅隨性的質數不再肆意妄為，終于向人們展示出了其循規蹈矩的一面。

沿著歐拉開辟的這一戰場，數學王子高斯（Gauss）和另一位數學大師勒讓德（Legendre）深入研究了質數的分布規律，終于各自獨立提出了石破天驚的質數定理。這一定理給出了質數在整個自然數中的大致分布概率，且和實際計算符合度很高。在和人們玩捉迷藏游戲兩千多年后，質數終于露出了其漂亮的狐貍尾巴。

2.橫空出世

雖然符合人們的期待，質數定理所預測的分布規律和實際情況仍然有偏差，且偏差情況時大時小，這一現象引起了黎曼的注意。

其時，年僅33歲的黎曼（Riemann）當選為德國柏林科學院通信院士。出于對柏林科學院所授予的崇高榮譽的回報，同時為了表達自己的感激之情，他將一篇論文獻給了柏林科學院，論文的題目就是《論小于已知數的質數的個數》。在這篇文章里，黎曼闡述了質數的精確分布規律。

沒有人能預料到，這篇短短8頁的論文，蘊含著一代數學大師高屋建瓴的視野和智慧，以至今日，人們仍然為隱匿在其中的奧秘而苦苦思索。

3.黎曼Zeta函數

黎曼在文章里定義了一個函數，它被后世稱為黎曼Zeta函數，Zeta函數是關于s的函數，其具體的定義就是自然數n的負s次方，對n從1到無窮求和。因此，黎曼Zeta函數就是一個無窮級數的求和。然而，遺憾的是，當且僅當復數s的實部大于1時，這個無窮級數的求和才能收斂（收斂在這里指級數的加和總數小于無窮）。

為了研究Zeta函數的性質，黎曼通過圍道積分的方式對該函數做了一個解析延拓，將s存在的空間拓展為復數平面。

研究函數的重要性質之一就是對其零點有深刻的認識。零點就是那些使得函數的取值為零的數值集合。比如一元二次方程一般有兩個零點，并且有相應的求根公式給出零點的具體表達式。

黎曼對解析延拓后的Zeta函數證明了其具有兩類零點。其中一類是某個三角sin函數的周期零點，這被稱為平凡零點；另一類是Zeta函數自身的零點，被稱為非平凡零點。針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題。

第一個命題，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分布在實部大于0但是小于1的帶狀區域上。

第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位于實部等于1/2的直線上。

第三個命題，黎曼用十分謹慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點都全部位于實部等于1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。而最后這個命題，就是讓后世數學家如癡如醉且寢食難安的黎曼猜想。

有人曾經問希爾伯特，如果500年后能重回人間，他最希望了解的事情是什么？希爾伯特回答說：我想知道，黎曼猜想解決了沒有。美國數學家蒙哥馬利（Montgomery）曾經也表示，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。黎曼猜想，儼然就是真理的宇宙里，數學家心目中那顆最璀璨的明星。

千年未解質數之謎或藏在準晶體結構中？

最近，在普林斯頓大學的一項研究中，科學家發現隱藏在素數分布背后的規律。通過 X 射線研究準晶體材料內部原子排列模式，研究人員發現所得到的結果與數軸上的素數序列之間有著驚人的相似之處。這一結果或將極大提高素數預測的精度。

微軟研究中心的首席研究員 Henry Cohn 雖沒有參與這項研究，但他說：“這篇論文的有趣之處在于，它為我們提供了一個關于質數的不同視角：我們可以將它們視為粒子，還能嘗試通過X射線衍射繪制出它們的結構。這項研究提供了一個優美的新視角，建立了材料科學與晶體散射理論的新聯系。”

圖 | 普林斯頓大學的研究人員發現質數與某些準晶體材料中的原子位置有相似的排列模式。（來源：Kyle McKernan, Office of Communications）

質數（Prime number），又稱素數，指在大于 1 的自然數中，除了 1 和該數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有 1 與該數本身兩個因數的數）。其中，大質數是許多密碼系統的基本構造單元。雖然數學家已經研究了素數的一些順序規律，但總的看來質數似乎是隨機地分布在數軸上的。最小的幾個素數是 2、3、5、7 和 11，隨著數軸的延伸，較大的素數的分布則變得更加零散。

在最近發表于 Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 的研究表明，質數并不像先前所想的那樣毫無規律的隨機分布。研究人員發現質數在數軸上的序列與 X 射線在材料衍射出的內部原子排列具有驚人的相似性。普林斯頓材料科學與技術研究所的 Salvatore Torquato 教授和他的同事發現，當考慮大范圍時，質數比之前認為的更加有規律，這一模式即“超齊構體”模式。這項分析或將對數學和材料學領域的研究者提供幫助。

“質數的分布遠比我們以前認為的要有規律的多”，普林斯頓大學自然科學教授 Lewis Bernard 和 Torquato 教授說，“我們發現質數的分布表現的就像晶體材料一樣，更準確地說，是一種稱為‘準晶體’的類似晶體的材料。”

Torquato 及其同事發現，當從數軸上很長一段來看時，質數的分布要比之前所認為的更有規律，屬于所謂的“超齊構體”（hyperuniformity）模式。“超齊構體”材料（hyperuniform materials）具有特殊的長程有序性，包括晶體、準晶以及某些特殊無序系統。目前，科學家在鳥類眼睛中視錐細胞的排列中、某些罕見的隕石中以及宇宙大尺度結構中發現了這種“超齊構體”。

研究者表示，他們在質數中發現的排列模式，跟 X 射線與某些物質相互作用時所得到的模式是一致的。作為化學家的 Torquato 教授非常熟悉 X 射線晶體學，這是一門利用 X 射線來研究晶體中原子排列的學科。比如鉆石或其他晶體，在與 X 射線相互作用的過程會產生可預測的亮點或峰值模式，稱為“布拉格峰”（Bragg peaks）。

相比于典型的晶體材料，準晶材料的布拉格峰排布則更為復雜。典型晶體的布拉格峰會形成規律的有空隙間隔的排布，但在準晶中，任意兩個布拉格峰之間，還可以找到一個新的布拉格峰。

Torquato 及其同事在質數中發現的模式類似于準晶體中原子的排布模式以及一個稱為“有限周期序”（limit-periodic order）系統，但卻稍有不同，所以研究者稱其為“有效有限周期”（effectively limit-periodic）。素數出現在一些具有“自相似性”的數組中，也就是說在某些較高的數值“峰”之間，有許多組較小的“峰”。

圖 | 將素數看作“原子”，紅點表示非素數，黑點表示素數。研究者發現某些素數與某些類晶體結構中的原子排布有相似的模式。

研究者首先利用計算機模擬研究了將質數作為一串原子與 X 射線相互作用后會發生什么，然后才發現了這個明顯的排列模式。在今年 2 月曾發表在《物理學雜志 A》上的研究中，研究報道了所發現的一個令人驚訝的類似于布拉格峰的圖樣，這表明素數的排列模式其實是高度有序的。

在近日的研究中，研究者利用數論方法為前期的模擬實驗提供了有力的理論基礎。研究者發現，盡管質數在數軸上較短的間隔里是隨機出現的，但在數軸上足夠長的范圍里，從這些看似混亂的數字中也能找到一定的規律。

一點感慨

時至今日，素數定理已被證明，小于N的素數個數的上限和下限都已經給出，但π(N)的確切值是多少，依然是一個懸而未決的問題，一批又一批的數學家們前赴后繼想登上最高峰，但都以失敗告終，但這并不妨礙后面還有一批又一批的攀登者。所以千年的質數公式的探索不會簡單，如果非常簡單，會引起所有數學家反思的。

已知素數的相關成果還是當今密碼學的基礎。先行互聯網的所有密碼都和素數的規律有關系。素數公式的發現，將使這些密碼變得毫無作用，可以預見不久的將來和密碼賬號有關的所有系統——比如銀行賬戶、郵箱賬號、游戲賬號等——都將陷于極大的風險之中。

孿生素數猜想是中國數學民科愛好者的“重災區”。網上關于證明了或推翻孿生素數猜想的“證明”太多了。筆者這里再次痛心疾首的呼吁，請各位業余愛好者遠離任何命題標題中含有“素數”二字的猜想。你可以提出各種有關素數的猜想，但是不要試圖去證明已經存在幾十年的任何有關素數的猜想，這不是你能干的活。這是我的逆耳忠言，你聽我一句，你可以節省生命中非常多的時間。

參考文獻：

1.樹上微，自然數的質數判定，合數分解與孿生質數分布；

2.DeepTech，千年未解質數之謎或藏在準晶體結構中？新研究發現原子排列與質數序列驚人重合