拓撲幾何跟普通的幾何有什么聯(lián)系？
在拓撲變換下不變的性質(zhì)稱為圖形的拓撲性質(zhì)。拓撲學主要研究的就是圖形的拓撲性質(zhì)，也叫做拓撲不變量。
幾何學研究的是幾何圖形在某一類變換下不變的性質(zhì)。根據(jù)變換類別的不同我們可以將幾何學進行分類，幾何圖形在某種特定變換下不變的性質(zhì)是在一類具體幾何需要重點研究的內(nèi)容。從數(shù)學上我們知道，某種變換總可以用一類特殊的矩陣來表示。因此在進行數(shù)學描述時，變換和矩陣總是分不開的。
歐幾里得幾何我們最先接觸的幾何是歐幾里得幾何，其對應的變換是等距變換，即保持任意兩點間距不變的變換，其基本操作包括平移、旋轉(zhuǎn)和鏡像。在等距變換下不變的性質(zhì)稱為圖形的度量性質(zhì)，如圖形的長度、角度、面積等。
圖1. 拉斐爾的雅典學院。圖中展示了一個希臘數(shù)學家，有可能是歐幾里得或者阿基米德在用指南針描繪一個幾何圖形。(From wiki: Euclidean geometry)
仿射幾何如果我們將條件放寬，允許圖形在變換前后長度、角度和面積可以不同，但要求平行線還是平行線，平行線段的比以及兩個圖形面積的比不變，這種變換稱之為仿射變換，在數(shù)學上可以表示為線性變換與平移變換的乘積：
仿射變換的基本操作包括平移(translation)、翻轉(zhuǎn)(flip)、旋轉(zhuǎn)(rotation)、縮放(scaling)、剪切(shear). 圖2. 仿射變換的基本操作
如果兩個圖形可以通過仿射變換轉(zhuǎn)化，則這兩個圖形稱為仿射等價。例如在仿射幾何中，所有的三角形仿射等價，所有的橢圓也仿射等價，他們都可以通過以上操作聯(lián)系起來。我們把經(jīng)過仿射變換不變的性質(zhì)，稱為圖形的仿射性質(zhì)。
射影幾何將仿射變換中的條件繼續(xù)放寬，不僅允許圖形的形狀大小可以改變，而且允許平行直線可以不再保持，但要求點仍舊變成點，直線仍舊變成直線，點在線上仍舊變成點在線上。這樣的變換我們稱之為射影變換。若兩個圖形可以通過射影變換聯(lián)系起來，則稱這兩個圖形射影等價。在射影幾何中，所有的橢圓、雙曲線和拋物線全都是射影等價的。經(jīng)過射影變換不變的性質(zhì)叫做圖形的射影性質(zhì)，射影幾何學主要研究的就是圖形的射影性質(zhì)。
圖3. 射影變換示例。將一個球射影到一個平面上有多種方法，視燈泡位置的不同可以得到不同的射影結(jié)果。但由于在射影的過程中將某一維度的信息丟失，因此射影變換是不可逆的。(From wiki: Projective geometry)
拓撲幾何若我們將變換條件進一步放寬，我們就會得到拓撲幾何。這時我們將放棄任何苛刻的要求，只要這個變換是一對一的，且相互靠近的點在變換前后仍然相互靠近就可以，這種變換我們就稱之為拓撲變換，也叫同胚變換，用數(shù)學語言描述就是一個一 一的連續(xù)且逆也連續(xù)的變換（或映射）。
想象一張彈性極好的橡皮薄膜，拓撲變換允許將薄膜任意的扭曲、彎折、拉伸、壓縮等等，只要不撕破它，且不使其粘合即可。基于此，我們形象地把這種變換稱為橡皮變形。
類似于其他的幾何學，我們將可以通過拓撲變換聯(lián)系起來的兩個圖形稱之為拓撲等價。在拓撲變換下不變的性質(zhì)稱為圖形的拓撲性質(zhì)。拓撲學主要研究的就是圖形的拓撲性質(zhì)，也叫做拓撲不變量。
圖4. 拓撲變換：杯子到甜甜圈的連續(xù)變形（From wiki: Topology）
