如何使用數(shù)學(xué)證明無理數(shù)數(shù)量多于有理數(shù)？

首先，我們要搞清楚 什么是：“無理數(shù)數(shù)比有理數(shù)數(shù)多”。

為了方便，數(shù)學(xué)上將有理數(shù)集記為 Q，將實(shí)數(shù)集記為 R。從實(shí)數(shù)中除去有理數(shù) 剩下的就是 無理數(shù)，因此 無理數(shù)記為 R\Q，其中 \ 表示 差集，即，從 R 除去 Q 中元素的 意思：

同時，用 |X| 表示 集合 X 中元素個數(shù)，例如 若 X = {Tom, and, Jerry}，則 |X| = 3。這樣以來，題目中：“無理數(shù)比有理數(shù)多”，可被表述為：

R\Q| > |Q| ①

可是，我們知道：有理數(shù) 和 無理數(shù) 的個數(shù)都是 無窮多個，即，|Q| = |R\Q| = ∞，那么問題來了：對于兩個 無窮大又如何比較大小呢？也就是說，如何 使得 ① 對于無窮集合有意義？

這個問題，最早歐拉大神就研究過，為此不惜規(guī)定自然數(shù)之和為 -1/12，但依然并沒有找到規(guī)律。后來是 康托爾（Cantor）找到了解決問題的金鑰匙——映射。

映射，記為 f: X → Y ，它描述 從 集合 X 到 集合 Y 的一種關(guān)系，即，

對于 X 中的每個元素 x 在 Y 中 有且只有一個 元素 y = f(x) 與之對應(yīng)。②

康托爾 通過 對 映射關(guān)系的細(xì)分，來對 ① 進(jìn)行定義：

單的：X 中的不同元素 在 Y 中 對應(yīng)不同元素；

這說明，在統(tǒng)計(jì) X 中元素個數(shù)的過程中， X 中 每數(shù)一個元素 x 都會有 Y 中有 x 對應(yīng)的元素 y 跟著計(jì)數(shù)，而且 根據(jù) 單的 定義， 不會發(fā)生 同一個 y 計(jì)數(shù) 兩次的情況，于是，我們認(rèn)為： X 的元素個數(shù) 不會大于 Y 的元素個數(shù)，即，|X| ≤ |Y|；

滿的：Y 中的每個元素 都有 X 中的 至少一個 元素與之對應(yīng)；

這說明，在統(tǒng)計(jì) Y 中元素個數(shù)的過程中，Y 中 每數(shù)一個元素 y 都會 有 X 中的 y 對應(yīng)的 至少 一個 元素 x 跟著計(jì)數(shù)，而且 根據(jù) ②，不會發(fā)生 同一個 x 計(jì)數(shù) 兩次的情況，于是，我們認(rèn)為： Y 的元素個數(shù) 不會大于 X 的元素個數(shù)，即，|X| ≥ |Y|；

雙的：既是 單的 又是 滿的；

這時 X 和 Y 中的 元素 一一對應(yīng)，因?yàn)?|X| ≤ |Y| 并且 |X| ≥ |Y| 所以 |X| = |Y|。

注：高中數(shù)學(xué)課本上，分別稱 單的、滿的、雙的 映射 為，單射、滿射、雙射。

因?yàn)橛成鋵τ? 有限集合 和 無限集合 同時有效，于是，用映射給出的 ① 的定義，對于 有限集合和無限集合 同時有效，這樣就繞開 比較無窮集合大小的的糾結(jié)。

有了 映射這個利器后，雖然 Q 和 R\Q 是 無窮集合，但是 只要 找到 它們 之間 的映射，就可以 根據(jù) 映射關(guān)系的 細(xì)分 來判斷 它們 之間的大小關(guān)系了。

然后，利用自然數(shù)集作為標(biāo)尺來證明。

所有自然數(shù)（包括 0）組成的集合 記為 ω。對于任意集合 X，若 |X| ≤ |ω| 則稱 X 可數(shù)，否則，即 |X| > |ω| 則稱 X 不可數(shù)。

集合 X 可數(shù)就意味著，存在 雙射 f: N → X，使得 X 中元素 和 自然數(shù) 的 全體 或 部分 N = {0, 1, 2, ..., n, ...} 一一對應(yīng) f: N → X ，于是就 可以 以 N 中自然數(shù)為下標(biāo) 將 X 的元素排成一列：

稱 X 可列。反之亦然。這說明，X 可列 必然 X 可數(shù)，X 可數(shù) 必然 X 可列。

先證明了 Q 可數(shù)：

任何 正有理數(shù)數(shù) 都可 表示為 兩個正整數(shù) 的比值，因此我們可以建立下表：

沿著，箭頭的路線，將 重復(fù)的 正有理數(shù) 刪除，則 所有 正有理數(shù)數(shù) 組成一個 序列：

于是可以建立 自然數(shù)集 ω 和 有理數(shù)集 Q 之間的一一對應(yīng)關(guān)系：

這就證明了 |Q| = |ω|，即，Q 可數(shù)。

再證明 無理數(shù) R\Q 不可數(shù)：

考慮 (0, 1) 之間的 無理數(shù)，將它們寫成無限不循環(huán)小數(shù)。假設(shè) 它們 可數(shù)，則可列，于是將它們排成一豎列如下：

接著我們將構(gòu)造一個 新的無理數(shù)：

構(gòu)造過程如下：

如果 a? 的第1位小數(shù) a?? ≠ 6 則 b 的第1位小數(shù)取 b? = 6，否則取 b? = 9；

接著，沿著豎列向下，找到 無理數(shù) a??，滿足，它的第1位小數(shù) a??? = b?。如果 a?? 的第2位小數(shù) a??? ≠ 6 則 b 的第2位小數(shù)取 b? = 6，否則取 b? = 9；

接著，沿著豎列向下，找到 無理數(shù) a??，滿足，它的第2位小數(shù) a??? = b?。如果 a?? 的第3位小數(shù)取 a??? ≠ 6 則 b 的第3位小數(shù)取 b? = 6，否則取 b? = 9；

...

這樣我們就得到了一個新的 無理數(shù) b，根據(jù)構(gòu)造過程 b 不等于 豎列 中的任何無理數(shù)，這和 豎列 包含所有 (0, 1) 之間的所有無理數(shù) 矛盾。

這就證明了 (0, 1) 之間的無理數(shù)不可列，進(jìn)而 全體有理數(shù) R\Q 也不可列，于是 R\Q 不可能 和 ω 一一對應(yīng) ，即，|R\Q| ≠ |ω|。

而很容構(gòu)造映射 f : ω → R\Q，如下：

f(n) = n + √2

顯然 f 是單的，于是有：

ω| ≤ |R\Q

上面已經(jīng)證明了 |R\Q| ≠ |ω|，于是得到

R\Q| > |ω

即，R\Q 不可數(shù)。

綜合，由上面的證明結(jié)果：

Q| = |ω|，Q 可數(shù)；

R\Q| > |ω| ，R\Q 不可數(shù)；

得到：

R\Q| > |Q

即，無理數(shù)比有理數(shù)多。

最后，實(shí)際上無理數(shù)比有理數(shù)多的多。

可以這樣想象（并非證明）：

設(shè)，袋子里有十個球，分別標(biāo)記有 0 到 9 十個數(shù)字。每次隨機(jī)的取一個球，記錄球上的數(shù)字，然后將球放回；用這個記錄的數(shù)字 作為 (0, 1) 之間小數(shù)的一個小數(shù)位。

如果，要使得這個小數(shù)是有理數(shù)，則必須 從 某次取球之后，每次都取到 0 號球（或按照某些固定循環(huán) 取球），因?yàn)橐獰o限的取下去，所有這種事件的發(fā)生概率，為 0，其逆事件，即，小數(shù)是無理數(shù)，的發(fā)生概率是 1。

由此可見，通過取球生產(chǎn)的 (0, 1) 之間小數(shù)，該小數(shù)是 無理數(shù) 是必然事件（概率 P = 1），該小數(shù)是 有理數(shù) 是 不可能事件（概率 P = 0）。這就說明 無理數(shù)比有理數(shù)多的多。

注：對于有無窮個樣本點(diǎn)的樣本空間，不可能事件 也會發(fā)生。

事實(shí)上，在《測度論》中，有理數(shù)集 Q 就是 零測集，不過這個就扯遠(yuǎn)了，這里打住。

（以上的證明并不簡潔，應(yīng)該有更好的證明方法，希望各位數(shù)學(xué)大神不吝賜教！另外，由于本人數(shù)學(xué)水平有限，出錯在所難免，歡迎各位老師批評指正！）