要想弄清楚這個(gè)問(wèn)題，就得先弄清楚一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是什么。求一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)處切線的斜率是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的思想來(lái)源之一，如下圖所示

即，已知函數(shù)f(x)，并告訴你函數(shù)圖像上的一點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)做該曲線的切線，問(wèn)如何求該切線的斜率？

我們知道對(duì)于一條直線而言，它的斜率定義就是在直線上任取兩個(gè)點(diǎn)(x?,y?)，(x?,y?)，那么斜率就是(y?-y?)/(x?-x?)，但是求曲線的切線斜率則遭遇到了困難，因?yàn)槲覀冎恢酪粋€(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，而不知道第2個(gè)點(diǎn)，因此我們需要采用全新的手段。

我們采用用割線來(lái)逼近切線的方法，即，在點(diǎn)P附近的函數(shù)圖像上取另外一個(gè)點(diǎn)Q，連接PQ兩點(diǎn)得到一條直線，這條直線就是函數(shù)的一條割線，而現(xiàn)在我們有了兩個(gè)點(diǎn)，因而割線的斜率是可以求出來(lái)的。在點(diǎn)P附近可以找到無(wú)數(shù)個(gè)Q點(diǎn)，因此可以做出無(wú)數(shù)條割線來(lái)，我們讓Q向P點(diǎn)的方向移動(dòng)，那么這條割線也就隨之移動(dòng)，當(dāng)Q無(wú)限接近于P時(shí)，割線也就無(wú)限接近于切線，如下圖所示

因此割線的斜率的極限就是切線的斜率，我們?cè)賮?lái)明確一下這個(gè)計(jì)算公式，先在函數(shù)圖像上把我們需要的信息標(biāo)出來(lái)

P點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,f(a))，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，f(x))，因此割線PQ的斜率就是f(x)-f(a)除以x-a，再讓x無(wú)限趨近于a，于是就得到了切線的斜率，我們把這個(gè)數(shù)值稱(chēng)為f(x)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為f'(a)，即

同樣上面的過(guò)程，我們還可以換一套符號(hào)系統(tǒng)，如下圖

我們把P和Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的差值記為h，于是按照同樣的方法，我們又可以得到另外一個(gè)式子

上面兩個(gè)式子的實(shí)質(zhì)是一樣的，稱(chēng)為函數(shù)f(x)在x=a處導(dǎo)數(shù)的第一定義和第二定義。

由上面的定義可以看出，函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，實(shí)際上就相當(dāng)于是一個(gè)極限值，而我們學(xué)極限的時(shí)候也已經(jīng)學(xué)過(guò)，極限的結(jié)果有三種情況：某個(gè)常數(shù)、正負(fù)無(wú)窮、不存在。而一條直線的斜率又不能是正負(fù)無(wú)窮，因此當(dāng)這個(gè)極限值算出來(lái)是正負(fù)無(wú)窮或不存在時(shí)，我們也說(shuō)這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在，即函數(shù)在這一點(diǎn)不可導(dǎo)。

我們所能想象出來(lái)的函數(shù)絕大部分都是可導(dǎo)的，那么不可導(dǎo)的會(huì)有什么樣的情況呢？

首先最明顯的一個(gè)例子，如果函數(shù)在某一點(diǎn)是間斷的，那么一定是不可導(dǎo)的，證明如下：

我們?cè)趯W(xué)函數(shù)的連續(xù)性的時(shí)候，已經(jīng)學(xué)過(guò)，函數(shù)在一點(diǎn)a處是連續(xù)的意思就是滿足下面這個(gè)三聯(lián)等式:

于是如果函數(shù)在一點(diǎn)是斷開(kāi)的，那么至少有一個(gè)等于號(hào)不成立，我們不妨設(shè)

于是代入到導(dǎo)數(shù)計(jì)算式中求右極限的式子

可以看出當(dāng)x無(wú)限趨近于a的右側(cè)的時(shí)候，分母不等于0，而分子等于0。于是他的極限只能是無(wú)窮，因而函數(shù)在這一點(diǎn)不可導(dǎo)。

其實(shí)我們直觀的想象一下也可以明白其中的原因，函數(shù)如果在一點(diǎn)是斷開(kāi)的，那么就無(wú)法做切線了，因而肯定是沒(méi)有導(dǎo)數(shù)的。

上面這個(gè)結(jié)論也是高中時(shí)我們常說(shuō)的，可導(dǎo)必連續(xù)的由來(lái)，因?yàn)檫@句話的逆否命題就是不連續(xù)一定不可導(dǎo)，二者同真同假。因此又留下一個(gè)疑問(wèn)，如果是連續(xù)的，那么是不是一定可導(dǎo)了呢？顯然也不是的，我們有如下幾個(gè)例子。

例1

我們可以帶入到導(dǎo)數(shù)的定義式中計(jì)算

這個(gè)算式的左右極限不一樣，因而該點(diǎn)的極限不存在，進(jìn)而導(dǎo)數(shù)也就不存在。這個(gè)函數(shù)的圖像如下圖所示

從圖中我們也可以看到，零點(diǎn)處是一個(gè)帶尖兒的點(diǎn)，如果想在零這一點(diǎn)做切線的話，從左邊做和從右邊做做出來(lái)是兩條不同的直線，因此該點(diǎn)處沒(méi)有一條統(tǒng)一的切線，所以也就沒(méi)有導(dǎo)數(shù)了。這種不可導(dǎo)數(shù)點(diǎn)，我們稱(chēng)之為尖點(diǎn)。

例2

同樣代入到導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中，我們有

從左右兩邊來(lái)看極限都是無(wú)窮，因此這一點(diǎn)也是不可導(dǎo)的。它的函數(shù)圖像如下圖所示

可以看出來(lái)，如果過(guò)零點(diǎn)做一條切線的話，是一條豎直線，而豎直線是沒(méi)有斜率的，因此也就沒(méi)有導(dǎo)數(shù)。這種點(diǎn)我們稱(chēng)之為豎直切線點(diǎn)。

上面兩個(gè)例子是我們可以想象出來(lái)的，還有一類(lèi)例子我們非常難以想象，只能靠計(jì)算了。

例3

代入到導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式中可以得到

而這個(gè)函數(shù)當(dāng)x趨近于0時(shí)是無(wú)窮震蕩的，因?yàn)闃O限也不存在

，進(jìn)而不可導(dǎo)，它的圖像如下圖所示：

越接近于零點(diǎn)時(shí)震蕩得就越劇烈。

其實(shí)在歷史上，人們對(duì)連續(xù)性與可導(dǎo)性的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的過(guò)程。一開(kāi)始當(dāng)微積分的發(fā)明人牛頓提出導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)人們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)還不是很清晰，認(rèn)為函數(shù)無(wú)非就是一條連續(xù)的曲線，那么過(guò)任何一點(diǎn)都是可以做切線的，于是當(dāng)時(shí)人們就認(rèn)為函數(shù)在任何一點(diǎn)都是可導(dǎo)的。

但是后來(lái)隨著人們研究的深入，發(fā)現(xiàn)了諸如尖點(diǎn)這樣的不可導(dǎo)點(diǎn)，但是依然受限于人們的認(rèn)識(shí)水平，他們認(rèn)為一條連續(xù)的曲線除了個(gè)別尖點(diǎn)之外，剩下的應(yīng)該是處處可導(dǎo)的。函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)則稱(chēng)函數(shù)這個(gè)區(qū)間上是光滑的，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)人們以為對(duì)于任何一個(gè)函數(shù)，它除了少數(shù)見(jiàn)點(diǎn)之外，剩下的大部分應(yīng)該都是光滑的。這其實(shí)也很符合我們現(xiàn)在的認(rèn)知。

但是在1860年，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯卻發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)函數(shù)

經(jīng)過(guò)復(fù)雜的證明，可以知道這個(gè)函數(shù)是處處連續(xù)的，但是卻處處不可導(dǎo)。這個(gè)發(fā)現(xiàn)震驚了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界，徹底顛覆了人們對(duì)導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識(shí)：原來(lái)還存在這樣一類(lèi)函數(shù)，它是一條連續(xù)的曲線，但是所有點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在。這一發(fā)現(xiàn)又開(kāi)辟了一個(gè)新的研究領(lǐng)域，即處處連續(xù)但無(wú)處可導(dǎo)的函數(shù)，從而也大大加深了人們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，在一定程度上為分型理論的提出奠定了基礎(chǔ)。

威爾斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897)

處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)的例子

參考文獻(xiàn)

[1].Calculus,earlytranscendentals,7ed，JamesStewwart，BROOKS/COLE.

[2].無(wú)處可微的連續(xù)函數(shù)，劉文，遼寧教育出版社.