從勾股定理到坐標(biāo)

從數(shù)學(xué)上的垂直與乘法相照應(yīng)的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)具有直角的幾何圖形會具有一些與算術(shù)相對應(yīng)的特殊性質(zhì)，這其中最重要的就是勾股定理——a^2+b^2=c^2。

這個小學(xué)必學(xué)的知識，其本質(zhì)來源于面積，下面這張圖可以清晰地讓人理解到底是為什么。

現(xiàn)在讓將勾股定理的方程稍加改造，得到一個二元方程：x^2+y^2=1^2

什么是方程？一方程其實就是關(guān)系的表征，比如上面這個方程，是用勾股定理改造出來的。所以我們同樣可以將它以二維平面面積的方式來理解。直角三角形其實就是長方形的兩條邊與一條對角線，所以將x和y作為長度來看，這個方程就可以解析成“在對角線長度固定的情況下，所有滿足條件的長方形邊長關(guān)系”。

把這些長方形都畫出來，如果這些長方形對角線的一端重合，那么另一端的點就會構(gòu)成一個弧形。在這個弧形中每個點到重合點的距離都為1，也就是所謂的圓，上面這個方程也就變成了圓的方程。

通過上面的分析我們可以得到一個概念，那就是“坐標(biāo)”，用兩個邊長去確定由它構(gòu)成的直角三角形的頂點。我們現(xiàn)在得到了兩個“參數(shù)”與一個“規(guī)律”，用它們組成的數(shù)學(xué)式子就是“方程”。

為什么要從二維升到三維

那么現(xiàn)在讓我們進(jìn)入三維世界吧，不過不是我們熟悉的那種進(jìn)入，而是從簡單粗暴地直接把圓的方程進(jìn)行擴(kuò)展，把x^2+y^2=1^2變成x^2+y^2+z^2=1^2會得到什么呢？答案是球面的方程，這個方程的意思是：在立方體的對角線長度為1的情況下，所有滿足條件的立方體相互間的邊長關(guān)系。

數(shù)學(xué)家的操作——加一維

平方公式與立方公式。

ax十bX十cX十D=0。

這一方程公式，用任一自然整數(shù)代入，它的解一定是整數(shù)，這是確定無疑的。那么。

a^2十b^2=c^2

a^3十b^3十c^3=e^3。

而上面的平方公式和立方公式，甪任一自然整數(shù)代入，它的解就不一定是整數(shù)了。而有整數(shù)解的數(shù)只有很少一部分了。但代入怎樣的自然整數(shù)才能使它們成為整數(shù)。我們有。

3^2十4^2=5^2=25。

3^3十4^3十5^3=6^3=2l6。

（2X3）^2十（2X4）^2=（2X5）^2=100。

（2x3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^3=1728。

（3x3）^2十（3x4）^2=（3X5）^2=225。

（3X3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^2=5832。

。。。。。。

由此可知：

3X^2十4X^2=5X^2

3X^3十4X^2十5X^3=6X^3。

就這樣，從平方整數(shù)解公式到立方解整數(shù)公式就這樣完成了。那么，這個立方整數(shù)解公式是一個什么樣的球呢？那只有請一個農(nóng)村老大娘給你用紙糊一個小朋友的錢罐子了。

所以對于勾股定理，有勾三股四弦五的說法，那么，對于立方整數(shù)解的公式應(yīng)該有一個怎么樣的說法呢。

好，到這兒為止都是我們可以輕松理解的東西，現(xiàn)在請你再看看圓與球的兩個方程，如果你是數(shù)學(xué)家，你是不是覺得似乎可以順?biāo)浦鄣卦僮鲆恍┦裁茨兀?/p>

比如……再給它加個參數(shù)試試？整個x^2+y^2+z^2+w^2=1^2出來看看？

這個式子在算術(shù)上很好理解，四個參數(shù)，相互間滿足一定的關(guān)系。

但是根據(jù)之前方程可以依托面積或體積照射到現(xiàn)實世界中的規(guī)律來看，我們是不是也可以將這個方程畫出來呢？

不能……因為在我們生存的宏觀世界，體積是空間的基本單位，不存在什么東西用三維無法描述，上文中強調(diào)的“存在先行”指出沒有需要的維度是沒有意義的，加入這個維度我們也找不到需要用它來描述的東西。

但是我們可以對其進(jìn)行想象與計算，在數(shù)學(xué)上它與二維或是三維是平等的，所以數(shù)學(xué)家們當(dāng)然不可能拒絕它。

這，就是所謂的四維空間。

尊敬的讀者，這一所謂從勾股定理到立方公式的整數(shù)解，再到四維五維或者到更多維的整數(shù)解的數(shù)學(xué)建模中，它會轉(zhuǎn)了一圈，會重新再回到二維三維的這個模式中來，這一數(shù)學(xué)中的自然模式，并不是大多數(shù)人所能夠理觧的，甚至是那些數(shù)學(xué)大枷們。