計算機(jī)函數(shù)和數(shù)學(xué)函數(shù)都是函數(shù)。如果抽象地來說函數(shù)的意思就是一個輸入產(chǎn)生一個輸出，那么這個輸出就是輸入的函數(shù)。輸入和輸出之間的這種關(guān)系叫做函數(shù)映射。

上圖：函數(shù)的基本定義示意

不管是計算機(jī)函數(shù)，還是數(shù)學(xué)函數(shù)，它們都符合函數(shù)的這個抽象定義。

函數(shù)的要素

• 輸入
  

• 輸出

• 單向有序?qū)?yīng)（輸入對應(yīng)到輸出）

上圖：這是函數(shù)，因為不同的輸入值有唯一的輸出值。

上圖：這不是函數(shù)，因為相同的輸入值對應(yīng)了不同的輸出值。

換一種你可能覺得匪夷所思的方式來描述函數(shù)，可以這么來講：

函數(shù)實際上是一個兩兩有序配對的集合，一個X值僅對應(yīng)一個Y值，但一個Y值不一定對應(yīng)一個X值。這個X與Y值的配對的集合G就是函數(shù)的圖，如果用坐標(biāo)系表示就是我們經(jīng)常看到的那種函數(shù)曲線圖。

上圖：一個典型的函數(shù)曲線圖。

從形式上講，函數(shù)圖和函數(shù)是相同的東西，但函數(shù)圖隱藏了函數(shù)作為某種過程的內(nèi)涵。因此，在通常的用法中，函數(shù)和函數(shù)圖是區(qū)分開來講的。

y=f(x)這種表示法就代表了x通過一個函數(shù)的過程f，映射（或者輸出）y的全部含義。

此外，函數(shù)也稱為映射，雖然“映射”和“函數(shù)”之間還是有一些差別。

函數(shù)的基本定義是數(shù)學(xué)的函數(shù)和計算機(jī)函數(shù)通用的，否則就不叫函數(shù)。下面我們分開看下數(shù)學(xué)函數(shù)和計算機(jī)函數(shù)的異同。

數(shù)學(xué)的函數(shù)

函數(shù)最早就是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域定義的，因此數(shù)學(xué)的函數(shù)的定義基本上與上面講的函數(shù)的基本定義類似，但是數(shù)學(xué)的函數(shù)限定函數(shù)的輸入和輸出對象必須是數(shù)，而不是其它什么貓貓狗狗。

你不能說我有一個函數(shù)：f(x)，然后當(dāng)x=貓，算出來f(x)=狗。

這樣的函數(shù)在數(shù)學(xué)上不成立的，其根本原因在于數(shù)學(xué)的運算只能適用于數(shù)，這里的x代表的是一個數(shù)，只能從數(shù)的集合當(dāng)中選取。

如果我們把上面的例子再復(fù)雜一下，例如：

函數(shù)f(x)=2x+1；但你要讓我算當(dāng)x=貓時的函數(shù)值，那我最多可以代數(shù)推理到這一步：

f(x)=2貓+1，但是2x貓是什么含義，2貓能跟+1運算嗎？顯然不行，這哪里哪呀？完全是牛頭不對馬嘴。

所以，數(shù)學(xué)的函數(shù)，限定了函數(shù)的取值范圍是“數(shù)”！

這和計算機(jī)的函數(shù)就有了差別。

計算機(jī)的函數(shù)

計算機(jī)也是建立在數(shù)學(xué)的原理之上，從計算機(jī)的本質(zhì)上講，計算機(jī)就可以被視為一種函數(shù)——一種物理實現(xiàn)的函數(shù)，它有輸入，有輸出。至少從物理原理上講，它是以電脈沖信號作為輸入，并輸出電脈沖信號。而且計算機(jī)確保了函數(shù)的一個最基本特征，即有序?qū)?yīng)（或者說映射），相同的輸入對應(yīng)相同的輸出，絕對不能出現(xiàn)相同的輸入居然產(chǎn)生不同的輸出的情況。所以，計算機(jī)本身就具備了函數(shù)的某些特質(zhì)。

上圖：計算機(jī)的基本功能是不是跟我們前面對函數(shù)的基礎(chǔ)定義的圖示有些相似？

拋開計算機(jī)的物理硬件屬性（硬件部分）來說，單看計算機(jī)的邏輯屬性（即軟件部分），也就是基于計算機(jī)的運作方式而保證成立的那套運作機(jī)制，恰恰就是數(shù)學(xué)函數(shù)。計算機(jī)的軟件部分可以完全被視為純粹的函數(shù)，這一點問題都沒有，因為計算機(jī)的軟件體系完全符合函數(shù)的基本定義。

只不過，計算機(jī)軟件設(shè)計人員利用計算機(jī)高級編程語言的設(shè)計思路，將數(shù)學(xué)函數(shù)的原理和描述方式引入到了計算機(jī)的設(shè)計和計算機(jī)的編程開發(fā)當(dāng)中。并且將復(fù)雜的概念建立在了數(shù)學(xué)函數(shù)的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)了計算機(jī)最重要的操作和行為概念（我們用計算機(jī)可不是僅僅用來做算數(shù)）。這更強(qiáng)調(diào)了之前函數(shù)的通用定義當(dāng)中關(guān)于函數(shù)是一個“過程”的內(nèi)涵。

計算機(jī)的編程語言不是給計算機(jī)看的，而是給程序員看的，是方便程序員自己知道自己想讓計算機(jī)執(zhí)行什么指令。雖然程序員輸入的是一些程序代碼，但實際上這些程序代碼最終會被編譯為數(shù)（包括指令和數(shù)據(jù)等等）。

上圖：程序的流程圖：大量函數(shù)相互連接就構(gòu)成了復(fù)雜的邏輯操作體系。

但實際上計算機(jī)的操作和行為，最終落到計算機(jī)的硬件底層都是建立在數(shù)字信號的基礎(chǔ)上的，這種操作和行為實際上就是大量函數(shù)的宏觀集合——通過運算實現(xiàn)對現(xiàn)實世界的反映和反饋。

舉幾個典型的此類操作的例子，看看它們是如何由函數(shù)構(gòu)成的：

• 計算機(jī)指令——實際上是一系列的編號以及相關(guān)的參數(shù)，每一條計算機(jī)指令都定義了輸入值x，計算含義f，指令執(zhí)行后會產(chǎn)生對應(yīng)的輸出值和相關(guān)操作（以數(shù)字信號的方式）。

• 對計算機(jī)內(nèi)存的讀、寫——實際上是輸入一個地址值，輸出該地址固定長度的數(shù)據(jù)的值。
  

• 對特定設(shè)備的操作——實際上在一系列的內(nèi)存地址寫入各種數(shù)值，然后以一個數(shù)值請求處理器控制特定的設(shè)備來讀取這些數(shù)據(jù)。

• 顯示屏顯示圖像——是以顯存內(nèi)的大量數(shù)值作為輸入，以屏幕上的矩陣作為輸出（矩陣也是數(shù)的一種形式，至少矩陣可以等效于一個數(shù)的有序集合）。

上圖：內(nèi)存的尋址就是一種典型的數(shù)值控制的操作，一串10的組合決定了應(yīng)該從內(nèi)存當(dāng)中的哪一塊提取數(shù)據(jù)。所以像內(nèi)存這個設(shè)備輸入數(shù)值，即可獲取另一串輸出的數(shù)值。內(nèi)存也是一個函數(shù)。

上面是從計算機(jī)的底層機(jī)制來說的，也就是說計算機(jī)的底層完全是基于函數(shù)的，所謂的計算和操作一切都是函數(shù)。

上圖：高級語言（人可讀的指令）是如何變成CPU可讀的指令，一切都會落到01構(gòu)成的數(shù)值上，作為CPU的輸入得到處理。這些數(shù)值不僅提供了x，也提供了f，應(yīng)該說是高層的f，意思是處理數(shù)據(jù)的方法。高層的f會被變成底層的f，從而會被CPU執(zhí)行（實際上CPU只知道少量的固定的底層的f）。

而對于計算機(jī)編程語言當(dāng)中的函數(shù)來說，函數(shù)就具備了更高層次的含義。諸如一個C語言的函數(shù)，或者java語言的函數(shù)……

這些函數(shù)在另一個層面上體現(xiàn)了一些與數(shù)學(xué)上函數(shù)的不同。由于計算機(jī)高級語言品種非常多，我這里也就不過多展開，只說一點點抽象的共性：

在高級編程語言當(dāng)中，函數(shù)和過程（routine）具有類似的含義或者本質(zhì)，這是對函數(shù)"過程"含義的強(qiáng)化，也就是前面我們提到的那個f()的含義。

我們在類似C語言系的語言當(dāng)中，函數(shù)、過程和方法等概念具有類似的含義。這些概念更突出函數(shù)的過程屬性。即在函數(shù)的運算之中，會執(zhí)行一些操作，帶來一些后果，重點在于這些操作和操作的后果，而不在于函數(shù)的輸出值。但實質(zhì)上，這些操作的后果也就是函數(shù)的輸出值。

通過函數(shù)集合的宏觀化，函數(shù)就變成了“宏”（macro）——一種具有動作屬性的整體概念，即操作。讀到這里，讀者應(yīng)該可以聯(lián)想到為什么excel里面的VBA程序會被稱為“宏”。

實際上宏就是一種動作，或者操作的集合，其目的不是給出輸出的數(shù)值，而是給出一系列動作。但歸根就底，宏也是建立在堆疊的函數(shù)的基礎(chǔ)上的，是一個封裝的整體概念，它不過是強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的過程屬性而已。

上圖：Excel中基于VBA的宏程序示例

小結(jié)一下：

計算機(jī)由于具備了強(qiáng)大的計算能力，于是可以高效地處理大量的函數(shù)，因此在此基礎(chǔ)上，人類使得計算機(jī)的軟件體系形成了“操作”的概念，因為我們不僅僅是想要計算機(jī)通過復(fù)雜的函數(shù)計算告訴我們一個最終值，而是需要計算機(jī)通過計算出來的大量的值去做一些事情。這是將計算力變成生產(chǎn)力的關(guān)鍵。但不管操作也好、宏也好、其微觀都是建立在單個簡單的函數(shù)的基礎(chǔ)上的，其原理也是建立在數(shù)學(xué)函數(shù)的概念之上的，輸入-過程-輸出的映射是計算機(jī)的基本原理。當(dāng)硬件確保了這種基本原理的穩(wěn)態(tài)運作，就成了計算機(jī)。即便用這樣的定義去衡量中國人發(fā)明的算盤也是一樣的道理。

總結(jié)

數(shù)學(xué)上函數(shù)的概念是計算機(jī)函數(shù)概念的微觀原理基礎(chǔ)。計算機(jī)發(fā)展到高級階段之后，計算機(jī)函數(shù)的含義更多地強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的過程特性，從而形成了強(qiáng)大的操作能力，雖然這種操作能力最終是由硬件來實現(xiàn)的。但無論怎么發(fā)展，計算機(jī)函數(shù)的內(nèi)涵都是符合數(shù)學(xué)函數(shù)的內(nèi)涵的。