先簡單復習一下群和環的基本概念：
群：
非空集合G，其實的二元運算°:G×G→G如果滿足：
結合律：對于任意a,b,c∈G，都有(a°b)°c=a°(b°c)；
則稱(G,°)為
有幺元：存在e∈G，使得對于任何a∈G，都有a°e=e°a=a；
則稱(G,°)為
可逆性：對于任何a∈G，都存在b∈G，使得a°b=b°a=e；
則稱(G,°)為
交換律：對于任何a,b∈G，都有a°b=b°a；
則稱(G,°)為
注：當群的運算°被當做乘法看待時，按照代數的習慣，可以省略不寫。
環：
非空集合R上的分別被稱為加法和乘法的二元運算+,·:R×R→R，如果滿足：
(R,+)構成Abel群；
- (R,·)構成半群；
- 乘法對加法的分配律：對于任意a,b,c∈R，都有a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca；
則稱(R,+,·)為
如果環(R,+,·)滿足：
(R,·)構成幺半群；
則稱(R,+,·)是幺環，并將(R,·)的幺元，記為1。說幺環中某元素可逆，是對乘法而言。
如果環(R,+,·)滿足：
乘法交換律：對于任何a,b∈R，都有ab=ba；
則稱(R,+,·)是
只含有一個元素（必然是0）的環稱為
環(R,+,·)中，對于元素a∈R若存在非零b∈R\{0}，使得ab=0或ba=0，則稱a是一個左或右
稱0是唯一的零因子的非零交換幺環為
理解理想
這需要從正規子群說起。
可以將群的元素之間運算升級到群子集之間，對于群G的子集K，L定義運算：
KL={kl|?k∈K,?l∈L}
特別地，當K或L是但元素集合{a}時，分別將{a}L和K{a}簡寫為aL和Ka。
群G的非空子集H?G，如果在G的運算下構成群，則稱H為G的子群。
給定群G的子群H，可以定義G中任意元素a，b之間的關系：
a～?b當且僅當存在h∈H，使得ah=b
這個關系滿足：
自反性，因為：e∈H,ae=a?a～?a；
對稱性，因為：a～?b??h∈H,ah=b??h?1∈H,bh?1=ahh?1=a?b～?a；
傳遞性，因為：a～?b∧b～?c??h,g∈H,ah=b∧bg=c??hg∈H,a(hg)=bg=c?a～?c；
因此，a～?b是等價關系。而容易知道a∈G的等價類為aH被稱為a的左陪集，所有等價類的集合稱為G的商集，記為G/～?。
類似的還可以定義：
a～?b當且僅當存在h∈H，使得ha=b
同理a～?b也是等價關系，a∈G的等價類為Ha被稱為a的右陪集，對應的商集為G/～?。
現在考慮，依G的子群H定義的等價關系～?（～?）所產生的G的商集G/～?（G/～?）在集合運算下是否構成一個群？
這要保證：
G/～?中任意兩個左陪集之集合運算結果仍然是左陪集①
如果①成立，則對于任意左陪集aH和bH，存在c∈G使得，對于任意ah?∈aH和bh?∈bH都有：
ah?bh?=ch?∈cH②
當h?=h?=e時，②中等式變為：
ab=ch?
故c～?ab，因此可以令c=ab，于是②中等式變為：
ah?bh?=ab
等式兩邊左乘h??1a?1，有：
h??1a?1ah?bh?=h??1a?1ab
h??1eh?bh?=h??1eb
h??1h?bh?=h??1b
ebh?=h??1b
bh?=h??1b∈Hb
由于h?在H中的任意性，所以上式相當于：
bH?Hb
于是得到結論，
如果①成立，則有：
G中任意元素的左陪集屬于右陪集③
同理，可以證明：
如果：
G/～?中任意兩個右陪集之集合運算結果仍然是右陪集
則有：
G中任意元素的右陪集屬于左陪集
綜上，得出，
如果：
G/～?和G/～?在集合運算構成群④
則有：
G中任意元素的右陪集等于左陪集⑤
反過來，如果⑤成立。
對于G中任意元素b的左陪集的任意bh?∈Hb，有：
bh?=h?b∈Hb
對于任意a∈G的左陪集aH中的任意元素ah?∈aH，令，
h?=h?h?
顯然h?∈H，根據⑤必然存在：
h?b=bh?∈bH
于是，對于aH和bH中任意兩個元素的乘積，有：
(ah?)(bh?)=ah?h?b=ah?b=abh?∈(ab)H
這樣就證明了①，確保G/～?在集合運算構成群。
而當⑤成立時，顯然：
G/～?=G/～?
故，④成立。
這就說明：④的充要條件是⑤。
于是，我們得出最終結論：
如果G的H子群滿足，
對于任意a∈G有aH=Ha；
則G/～?=G/～?在集合運算下構成群，成為商群，并記為G/H，同時稱H為G的正規子群。
Abel群的子群一定是正規子群。
然后，引入理想的概念。
和子群類似，如果R的非空子集I，在R的加法和乘法下構成一個環，則成I是R的子環。
I是R的子環，蘊涵了I是R的加法子群，由于它們是Abel群，所以I是R的加法正規子群，進而R/I在陪集加運算（任意a,b∈R）：
(a+I)+(b+I)=(a+b)+I
下構成商群，而且是Abel群。
如果，再給R/I賦予陪集積運算：
(a+I)(b+I)=ab+I⑥
則，陪集積運算，滿足：
結合律：((a+I)(b+I))(c+I)=(ab+I)(c+I)=(ab)c+I=a(bc)+I=(a+I)(bc+I)=(a+I)((b+I)(c+I))
分配率：(a+I)((b+I)+(c+I))=(a+I)((b+c)+I)=a(b+c)+I=(ab+ac)+I=(ab+I)+(ac+I)=(a+I)(b+I)+(a+I)(c+I)
于是R/I就變成一個環，稱為商環。
如果⑥成立，則對于任意a+i?∈a+I和b+i?∈b+I有：
(a+i?)(b+i?)∈ab+I
展開左邊得到：
ab+i?b+ai?+i?i?∈ab+I
于是：
i?b+ai?+i?i?∈I
當i?,i?=0時，得到：
ai?,i?b∈I
基于i?，i?的任意性，可推導出：
Ib，aI?I
而基于a,b的任意性，可得出：
如果⑥成立，則：
對于任意a∈R，有aI?I并且la?I⑦
反過來，如果⑦成立。
對于任意a+i?∈a+I，b+i?∈b+I，有：
(a+i?)(b+i?)=ab+i?b+ai?+i?i?
條件⑦使得i?b,ai?∈I，而本來i?i?∈I，于是i?b+ai?+i?i?∈I，進而：
(a+i?)(b+i?)∈ab+I
于是⑥成立。
綜上說明：⑥的充要條件是⑦，我們稱滿足條件⑦的子環I為理想。
正規子群保證了群的商集是群，理想保證了環的商群是環。
理解理想生成
環R中的子集M，包含M的最小理想稱為有M生成的理想，記為(M)。
特別地當M={a}時，將({a})簡寫為(a)，并稱由一個元素生成的理想，為主理想。如果一個環中的所有理想都是主理想，則稱該環為主理想環。
考慮M的生成理想：
首先，對于任意m∈M一定有m∈(M)。
然后，因為(M)是理想，于是對于任意s，r∈R，有sm，mr∈(M)，進而smr∈(M)。
又，因為(M)自相加封閉，所以：
任意n個m相加，記為nm=m+...+m∈(M)，有nm∈(M)；
因為nmr=mr+...+mr=m(r+...+r)=mnr，而nr∈R，又基于r的任意性，于是mr已經包括了nmr的情況。其它sm和smr類似，也包括了nsm和nsmr的情況；
再，因為(M)對加法封閉，所以：
nm+sm+mr+smr∈(M)
最后，考慮到上式中各元素之間的任意性，于是我們得到：
(M)={∑_{有限}n_im_i+s_jm_j+m_kr_k+s_lm_lr_l|n_i∈Z_{≥0};m_i,m_j,m_k,m_l∈M;s_j,r_k,s_l,r_l∈R}
如果R是幺環，則：
sm令s=n1有sm=n1m=nm，這說明nm已經被sm包括；
smr分別令s=1或r=1，有：smr=1mr=mr或smr=sm1=sm，所以sm后mr被smr包括；
綜上，我們得到：
(M)={∑_{有限}s_im_ir_i|m_i∈M;s_i,r_i∈R}
顯然對于幺環R來說(1)=R。
如果R是交換環，則：
smr=srm其后sr∈R，又基于s的任意性，于是sm已經包括了smr的情況；
mr=rm這和sm等同；
綜上，我們得到：
(M)={∑_{有限}n_im_i+s_jm_j|n_i∈Z_{≥0};m_i,m_j∈M;s_j∈R}
如果R是交換幺環，則有：
(M)={∑_{有限}s_im_i|m_i∈M;s_i∈R}⑧
理解中國剩余定理
回顧一下理想的運算。
考慮，環R的理想I,J的交I∩J。對于任意a，b∈I∩J，因為I，J是理想，所以a+b,ab∈I，a+b,ab∈J故a+b,ab∈I∩J，即，I∩J對加法和乘法封閉，因此I∩J是R的子環。又任何元素a∈I∩J，對于任意r∈R，因為I，J是理想，所以ra∈I，ra∈J，故ra∈I∩J，同理有ar∈I∩J，這就說明I∩J是R的理想。
考慮，環R的理想I,J的和I+J。對于任意a?+b?,a?+b?∈I+J，其中a?,a?∈I，b?,b?∈J⑨，有：
(a?+b?)+(a?+b?)=(a?+a?)+(b?+b?)，因為⑨所以a?+a?∈I，b?+b?∈J進而(a?+a?)+(b?+b?)∈I+J，即，(a?+b?)+(a?+b?)∈I+J；
(a?+b?)(a?+b?)=(a?a?+b?a?)+(a?b?+b?b?)，因為⑨所以a?a?∈I，b?b?∈J，又由于I,J是理想，所以b?a?∈I,a?b?∈J，于是a?a?+b?a?∈I,a?b?+b?b?∈J，所以(a?a?+b?a?)+(a?b?+b?b?)∈I+J，即(a?+b?)(a?+b?)∈I+J；
這就是說明I+J對加法和乘法封閉，因此I+J是R的子環。又任意元素a+b∈I+J，對于任意r∈R，因為I，J是理想，所以ra∈I，rb∈J，故r(a+b)=ra+rb∈I+J，同理有(a+b)r∈I+J，這就說明I+J是R的理想。
考慮，環R的理想I,J的（集合）積I·J。我們無法保證I·J對于加和乘法封閉，進而我們不能保證I·J是理想，于是我們重新定義，環R的理想I,J的積IJ為它們作為集合之積I·J的生成理想，即IJ=(I·J)。
對于每個a∈I∩J，a=a+0∈I+J，故I∩J?I+J。
對于任意ab∈I·J，其中a∈I，b∈J，但是I,J是理想，所以ab∈I，ab∈J進而I·J?I∩J。再根據生成理想的最小性，得出：IJ=(I·J)?I∩J。
理想的積對于理想的和滿足交換律：K(I+J)=KI+KJ，(I+J)K=IK+JK。
對于幺環R中的理想I，如果1∈I，則對于任意r∈R，有r1=r∈I，故R?I，進而I=R。⑴
設R是幺環，對于R的理想I,J，如果：
I+J=R
則稱I和J互素。
如果存在a∈I，b∈J，使得a+b=1，則1∈I+J，根據結論⑴，有I+J=R。反過來若I+J=R，則1∈I+J于是必然存在a∈I，b∈J，使得a+b=1。故，I和J的充要條件是存在a∈I，b∈J，使得a+b=1。⑵
如果J與I?,I?都互素，根據⑵必然存在a?,a?∈J,b?∈I?,b?∈I?使得a?+b?=1,a?+b?=1，于是(a?+b?)(a?+b?)=(a?a?+a?b?+b?a?)+(b?b?)=1，其中a?a?+a?b?+b?a?∈J，b?b?∈I?I?，根據⑵得出J和I?I?互素，即，J+I?I?=R，又由于I?I??I?∩I??I?+I?，所以J和I?∩I?或I?+I?也互素。⑶
對于環R中的理想I,J組成的笛卡爾積：
I×J={(a,b)|a∈I，b∈J}
上定義：
加法(a?,b?)+(a?,b?)=(a?+a?,b?+b?)
乘法(a?,b?)·(a?,b?)=(a?·a?,b?·b?)
則(I×J,+,·)構成一個環，稱為I和J的直積。
中國剩余定理：設R是幺環，I?,I?,...,I?是R中兩兩互素的理想，則有，
R/(I?∩I?∩...∩I?)?R/I?×R/I?×...×R/I?
要證明這個定理，需要引入，環同態基本定理：
對于從環R到環R‘的映射f:R→R‘，如果對于任意a,b∈R滿足：
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(ab)=f(a)f(b)
我們稱f是環同態，如果f還是雙射，則稱f是環同構，同時也稱R和R‘同構，記為：R?R‘。
對于環同態f:R→R‘，定義：
同態像：imf={f(r)|?r∈R}；
同態核：kerf={r|?r∈R,f(r)=0}；
環同態基本定理：對于環同態f:R→R‘，則有：
kerf?imf
為了便于理解，見下圖：
（由于篇幅有限，環同態基本定理的證明略，有興趣的朋友，請參考《抽象代數》。）
接下來，我們證明中國剩余定理：
可以構造映射，
f:R→R/I?×R/I?×...×R/I?
s?(s+I?,s+I?,...,s+I?)
則，對于任意a,b∈R，有：
f(a+b)=((a+b)+I?,(a+b)+I?,...,(a+b)+I?)=((a+I?)+(b+I?),(a+I?)+(b+I?),...,(a+I?)+(b+I?))=(a+I?,a+I?,...,a+I?)+(b+I?,b+I?,...,b+I?)=f(a)+f(b)；
f(ab)=(ab+I?,ab+I?,...,ab+I?)=((a+I?)(b+I?),(a+I?)(b+I?),...,(a+I?)(b+I?))=(a+I?,a+I?,...,a+I?)(b+I?,b+I?,...,b+I?)=f(a)f(b)；
因此f是環同構。
首先，(I?,I?,...,I?)是R/I?×R/I?×...×R/I?的零元，而，對于x∈I?∩I?∩...∩I?，有x∈I?，I?，...，I?，進而有，
f(x)=(x+I?,x+I?,...,x+I?)=(I?,I?,...,I?)
故，
kerf=I?∩I?∩...∩I?
然后，由于任意I?(i=1,2,...,r)與I?,...,I???,I???,...,I?都互素，則根據⑶有I?與M?'=I?∩...∩I???∩I???∩...∩I?互素，于是根據⑵，則存在a?∈I?，x?∈M?'，使得a?+x?=1，進而x?=1-a?，于是：
f(x?)=(x?+I?,...,x?+I?,...,x?+I?)=(x?+I?,...,1-a+I?,...,x?+I?)
因為x?∈M?'所以x?∈I?,...,I???,I???,...,I?，因為a?∈I?，所以-a?∈I?，故：
f(x?)=(I?,...,1+I?,...,I?)=(0+I?,...,1+I?,...,0+I?)
進而對于任意s?∈R，有：
f(s?x?)=f(s?)f(x?)=(s?+I?,...,s?+I?,...,s?+I?)((I?,...,1+I?,...,I?))=((s?+I?)(0+I?),...,(s?+I?)(1+I?),(s?+I?)(0+I?))=((s?0)+I?,...,(s?1)+I?,...,(s?0)+I?)=(I?,...,s?+I?,...,I?)
于是，對于任意(s?+I?,s?+I?,...,s?+I?)∈R/I?×R/I?×...×R/I?，都有：
x=s?x?+s?x?+...+s?x?
則得：
f(x)=f(s?x?+s?x?+...+s?x?)=f(s?x?)+f(s?x?)+...+f(s?x?)=(s?+I?,I?,...,I?)+(I?,s?+I?,...,I?)+...+(I?,I?,...,s?+I?)=(s?+I?+...+I?,s?+I?+...+I?,...,s?+I?+...+I?)=(s?+I?,s?+I?,...,s?+I?)
故，f是滿足射，即imf=R/I?×R/I?×...×R/I?。
最后，根據環同態基本定理，有：
R/(I?∩I?∩...∩I?)=R/kerf?imf=R/I?×R/I?×...×R/I?
如果R是交換幺環，若理想I和J互素，根據⑵則必然存在a∈I，b∈J使得a+b=1，于是對于任意s∈I∩J，有：
s=s1=s(a+b)=sa+sb，
由于s∈I∩J∈J，a∈I，故as∈IJ，而R是交換環，故sa=as∈IJ，又由于s∈I∩J∈I，b∈J，故sb∈IJ，于是sa+sb∈IJ，即，
s∈IJ
這就證明了，I∩J?IJ。而前面已經證明了，IJ?I∩J，因此得到：IJ=I∩J。
于是在交換幺環R下，環同態基本定理可寫為：
R/(I?I?...I?)?R/I?×R/I?×...×R/I?
在主理想整環D中，如果主理想(m)和(n)互素，則根據⑵必然存在a∈(m)與b∈(n)使得a+b=1，又因為D是整環，所以D是交換幺環，根據⑧有：
(m)={∑_{有限}s_im|s_i∈D}=Dm=mD
于是，對于a∈(m)=mD，必然存在u∈D使得a=mu；同理，對于b∈(n)=nD，必然存在v∈D使得b=nv。于是有：
mu+nv=1
這和《初等數論》中m和v互素的性質完全相同。于是在主理想整環中(m)和(n)互素等價于m和n互素。
在主理想整環D中，如果m?,m?,...,m?兩兩互素，則主理想(m?),(m?),...,(m?)兩兩互素，于是根據中國剩余定理，有：
D/(m?)(m?)...(m?)?D/(m?)×D/(m?)×...×D/(m?)=D/m?D×D/m?D×...×D/m?D
令M=m?m?...m?，則(m?)(m?)...(m?)=(m?m?...m?)=(M)=MD，于是上式寫為：
D/MD?D/m?D×D/m?D×...×D/m?D
對應環同構為：
φ:D/MD→D/m?D×D/m?D×...×D/m?D
s+MD?(s+m?D,s+m?D,...,s?+m?D)
對于任意m?(i=1,2,...,r)，令M?=M/m?=m?...m???m???...m?則m?和M?互素，于是存在a?∈(m?)=m?D,x?∈(M?)=M?D使得a?+x?=1，根據上面證明中國剩余定理的經驗，可知φ逆映射為：
φ?1:D/m?D×D/m?D×...×D/m?D→D/MD
(s?+m?D,s?+m?D,...,s?+m?D)?(s?x?+s?x?+...+s?x?)+MD
因為x?∈(M?)故可以令x?=M?M??1,M??1∈D(i=1,2,...,r)，于是得到：
φ?1(s?+m?D,s?+m?D,...,s?+m?D)=(s?M?M??1+s?M?M??1+...+s?M?M??1)+MD⑶
另外，a?+M?M??1=1，于是有：
M?M??1=1-a?
進而，
M?M??1+m?D=(1-a?)+m?D=1+m?D+(-a?)+m?D,
因為a?∈m?D，所以-a?∈m?D，故(-a?)+m?D=m?D，于是得到條件：
M?M??1+m?D=1+m?D⑶'
在⑶中，s?+m?D中的元素滿足，同余方程：
x?=s?(modm?)
而條件⑶'就相當于：
M?M??1=1(modm?)
因此⑶就等價于《初等數論》中介紹的中國剩余定理。
（關于《初等數論》里的中國剩余定理，可以參考我對問題：“韓信點兵問題公式或口訣是什么？”的回答。）
（本人數學水平有限，出錯在所難免，歡迎各位老師批評指正。）