可導(dǎo)與可微是兩個(gè)經(jīng)常被人們混淆的概念。高中時(shí)，很多老師都說(shuō)可導(dǎo)和可微是同一回事，但事實(shí)真的如此嗎？答案是否定的，二者是完全不同的兩個(gè)東西。其實(shí)大學(xué)在《高等數(shù)學(xué)》這門課里邊已經(jīng)非常明確地指出了可導(dǎo)性與可微性的定義，只是它一般不作為考試內(nèi)容，也不是考研的重點(diǎn)。因此很多老師一帶而過(guò)，沒有去深究；學(xué)生們學(xué)起來(lái)也沒有太在意，從而忽略了二者之間的區(qū)別。我們今天就來(lái)講一下二者究竟有什么區(qū)別與聯(lián)系。

一元函數(shù)的情形

先來(lái)看我們比較熟悉的可導(dǎo)性，函數(shù)在x=a處可導(dǎo)的意思就是在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，而導(dǎo)數(shù)的一個(gè)幾何解釋就是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，它是利用割線的斜率取極限得到的

因此它有兩個(gè)等價(jià)的定義式：

式子右邊的這個(gè)極限如果存在，則導(dǎo)數(shù)存在，那么函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。

而可微性的定義則比上式要復(fù)雜的多，它要用得到高階無(wú)窮小的概念：

可以看出，可微性的定義與可導(dǎo)性是截然不同的，因此二者是完全不同的兩個(gè)概念，千萬(wàn)不要把它們混在一起。

為了進(jìn)一步弄清二者之間的區(qū)別，我們需要深刻地理解可微性這一概念。很多人對(duì)上面這個(gè)式子看得莫名其妙，那是因?yàn)椴涣私馄浔澈蟮膸缀魏x，我們來(lái)詳細(xì)介紹一下。

微積分的發(fā)明最初是源于牛頓思考如何求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度這一問(wèn)題。他采用的是極限的思想，當(dāng)然這種思想并非牛頓的首創(chuàng)，古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德，就采用過(guò)類似的方法。

他當(dāng)時(shí)思考的是如何求一個(gè)圓形的面積，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了，是利用內(nèi)接正多邊形來(lái)逼近圓的方法，當(dāng)邊數(shù)越多面積就越接近于圓的面積，當(dāng)邊數(shù)多到無(wú)限多的時(shí)候，也就是對(duì)邊數(shù)求一個(gè)極限，那就可以得到圓的整個(gè)面積：

這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之計(jì)算圓周率，用的也是類似的方法。這一類方法包含了一個(gè)深刻的思想就是，在一個(gè)很小的范圍之內(nèi)，曲線就約等于一條直線：

那么我們定義函數(shù)在一點(diǎn)可微用的也是這個(gè)思想，可以參見下面這個(gè)圖

我們研究函數(shù)在x=a這一點(diǎn)的性態(tài)。首先按照剛才的思想，我們?cè)趚=a這一點(diǎn)附近做一條直線，讓它盡可能地貼近這條曲線，注意！我這里可沒有說(shuō)是做一條切線，具體是做什么樣的直線目前還不知道，于是我們就想知道，當(dāng)它的斜率取為多少的時(shí)候，可以做到“盡可能地貼近”。

那我們就需要來(lái)分析一下什么叫做“盡可能地貼近”，我們把這條直線的斜率記成A，來(lái)研究一下函數(shù)在x=a+Δx這一點(diǎn)，函數(shù)在這一點(diǎn)的取值是f(a+Δx)，那么它與x=a這一點(diǎn)的函數(shù)值之差就是f(a+Δx)-f(a)，就是圖中所表示的Δy。同時(shí)直線上在這一點(diǎn)的取值與在x=a處的取值之間的差我們用dy來(lái)表示。

我們來(lái)計(jì)算一下dy究竟等于什么，我們知道斜率的計(jì)算公式就是(y?-y?)/(x?-x?)，按照?qǐng)D中所示，其實(shí)就是dy/Δx，這里需要注意一下，Δx就是dx，而我們已經(jīng)設(shè)出直線的斜率是A，因此dy就等于AΔx。

知道了Δy與dy，那么“盡可能地貼近”的意思就是指，Δy與dy之間的差值，即誤差Δy-dy，盡可能地小。按照我們剛才給出的式子，Δy-dy就等于f(a+Δx)-f(a)-AΔx，這就是可微式定義中的分子部分。

那么問(wèn)題又來(lái)了，什么叫做誤差盡可能的小呢，從圖上可以看出，不管你直線的斜率取成什么樣子，當(dāng)Δx越小的時(shí)候，誤差肯定也就越小。這樣一來(lái)不同的直線之間就無(wú)法區(qū)分開，因此我們把條件再加強(qiáng)一點(diǎn)。我們不僅要求誤差越來(lái)越小，還要求它是一個(gè)關(guān)于Δx的高階無(wú)窮小。如果我們能找到適當(dāng)?shù)腁，使得它滿足這一點(diǎn)，那么我們就說(shuō)這條直線是最“盡可能貼近”的一條直線。而高階無(wú)窮小的定義我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中都已經(jīng)學(xué)過(guò)，就是二者的比值當(dāng)Δx趨近于0的時(shí)候極限也是0，于是我就寫出了剛才提到的那個(gè)可微性的定義的表達(dá)式。

我想，明白了這個(gè)原理，我們也就可以理解可微性的真正內(nèi)涵，也就可以清楚的認(rèn)識(shí)到，它與可導(dǎo)性是完全不同的兩個(gè)概念。

那么，可微性與可導(dǎo)性之間又有什么樣的聯(lián)系呢？二者是相互等價(jià)的，即若f(x)在x=a處可導(dǎo)，則可以推出來(lái)它在a處是可微的；反過(guò)來(lái)，如果它在這一點(diǎn)可微則可以推出來(lái)它在這一點(diǎn)可導(dǎo)。我們來(lái)證明一下這兩個(gè)結(jié)論。

• 定理1：若f(x)在x=a處可導(dǎo)，則它在x=a處可微
  

這就是我們可微性的定義，因此可以推出來(lái)函數(shù)在這一點(diǎn)是可微的。

反過(guò)來(lái)

• 定理2：若f(x)在x=a處可微，則它在x=a處可導(dǎo)。
  

上面的兩個(gè)定理可以看出，可導(dǎo)性和可微性是有密切聯(lián)系的，二者不僅互相等價(jià)，而且可導(dǎo)性中的導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就相當(dāng)于可微性定義里的那個(gè)A。這就是為什么經(jīng)常會(huì)有人說(shuō)二者是一回事，但實(shí)際上從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)角度來(lái)看，二者是完全不同的。

當(dāng)然，上面是針對(duì)于一元函數(shù)的情形；而對(duì)于多元函數(shù)，z=f(x,y)，結(jié)論就不一樣了，可導(dǎo)與可微甚至都不是等價(jià)的。

多元函數(shù)的情形

對(duì)于多元函數(shù)，我們拿二元函數(shù)z=f(x,y)舉例子，研究它在(a,b)這一點(diǎn)的情況。因?yàn)槠矫嫔嫌袩o(wú)數(shù)多個(gè)方向，因此我們需要研究它的偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)x的偏導(dǎo)和對(duì)y的偏導(dǎo)，對(duì)x的偏導(dǎo)定義就是將y值固定為b，對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，它的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義式是

它的幾何解釋就是對(duì)這個(gè)曲面在y=a處做一個(gè)橫截面，截口就是一條曲線，這個(gè)曲線在x等于a處切線的斜率，如下圖所示

同樣在這一點(diǎn)關(guān)于y的偏導(dǎo)就是

它的幾何解釋就是，在x=a處做切面截出的曲線在y=b處的切線斜率，如下圖所示

同樣的，我們可以定義在(a,b)這一點(diǎn)處函數(shù)的可微性，我們同樣是利用“化曲為直”的思想，二元函數(shù)的圖像是一個(gè)曲面，因此這里我們是用一個(gè)平面來(lái)代替曲面，即，過(guò)f(a,b)這一點(diǎn)做一條盡量的貼近曲面的平面，參考一元函數(shù)的情形，我們可以畫出如下圖像

我們的目標(biāo)也是想讓函數(shù)值與平面上的值之間的誤差是一個(gè)關(guān)于自變量變化的無(wú)窮小量。而自變量的變化又分成兩部分，x的變化是Δx，y的變化是Δy，新舊兩點(diǎn)之間的距離就可以利用勾股定理，即兩條直角邊的平方和再開方而得到，遵循同樣的道理，我們可以寫出函數(shù)在一點(diǎn)可微的定義：

可以看出，在多元函數(shù)中，一點(diǎn)處可導(dǎo)與可微之間的差異表現(xiàn)的就更明顯了。

二者甚至都不是等價(jià)的，我們有如下結(jié)論。首先，如果可微的話，那么兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)必然存在，這是一定的。

• 定理3：若f(x,y)在(a,b)處可微，則在該點(diǎn)處，關(guān)于x和y的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在
  

于是我們有類似的結(jié)論，可微的函數(shù)不僅兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，并且關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)就是定義里的A，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)就是定義里的B。

但是這個(gè)結(jié)論反過(guò)來(lái)就不一定成立了：即使兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么在這一點(diǎn)也有可能不可微，以下是一個(gè)例子。

所以在多元函數(shù)中，可導(dǎo)與可微并不等價(jià)，這就告訴我們就更有必要將可導(dǎo)與可微給區(qū)分開了。但是我們有如下的定理：

• 定理4：函數(shù)f(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(a,b)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)存在，并且兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)，那么函數(shù)在這點(diǎn)可微
  

這個(gè)條件只是函數(shù)在一點(diǎn)可微的充分條件，它的證明過(guò)程比較復(fù)雜，需要使用拉格朗日中值定理，如果有興趣的讀者可以參閱相關(guān)教材。

到這里我們就基本把可導(dǎo)與可微的關(guān)系說(shuō)清楚了，但是數(shù)學(xué)家們會(huì)研究更復(fù)雜的函數(shù)——向量函數(shù)，而它的可導(dǎo)性與可微性形式就更復(fù)雜了，但是思想核心還是一樣的。

3.向量函數(shù)的情形

所謂向量函數(shù)，通俗的講就是自變量與因變量都是向量的函數(shù)。一般的，它把一個(gè)n維向量映射到一個(gè)m維向量，通用的表達(dá)方式如下：

有時(shí)為了形式上的好看，我們把向量豎過(guò)來(lái)寫：

所以一個(gè)由n維向量映射到m維向量的向量函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是m個(gè)n元函數(shù)。當(dāng)向量維數(shù)比較高的時(shí)候，我們無(wú)法畫出它的圖形，但是當(dāng)向量維數(shù)為二維或者三維的時(shí)候，它是有幾何含義的。比如從二維到二維的向量函數(shù)，它的自變量x可以理解為平面上的一個(gè)位置，y表示一個(gè)向量，因此二維到二維的向量函數(shù)可以理解為給平面上每一個(gè)點(diǎn)賦予一個(gè)向量，比如下圖所示

上面就是三個(gè)二維到二維向量函數(shù)的例子。同樣三維到三維的向量函數(shù)相當(dāng)于給空間中每一點(diǎn)賦予一個(gè)三維向量，比如下面幾個(gè)例子

上面兩種向量函數(shù)，我們分別稱為二維向量場(chǎng)與三維向量場(chǎng)，向量場(chǎng)是物理學(xué)問(wèn)題中的一個(gè)重要的研究工具，力場(chǎng)，磁場(chǎng)，電場(chǎng)等等都是某種特殊的向量場(chǎng)。向量場(chǎng)在流體力學(xué)中有著基礎(chǔ)性的地位。
上圖展示的是美國(guó)舊金山地區(qū)在2010年5月1日早上6點(diǎn)時(shí)的空氣運(yùn)動(dòng)

上圖是加拿大新蘇格蘭島附近某時(shí)刻的海水流動(dòng)

飛機(jī)運(yùn)行中的風(fēng)洞測(cè)試也是三維向量場(chǎng)

因?yàn)橄蛄亢瘮?shù)涉及多個(gè)函數(shù)與多個(gè)自變量，因此它的導(dǎo)數(shù)就比較麻煩，我們需要研究每一個(gè)函數(shù)關(guān)于每一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)，這樣一來(lái)，我們就需要用矩陣來(lái)表示

上面這個(gè)矩陣我們就稱為導(dǎo)數(shù)矩陣，當(dāng)然有一個(gè)更專業(yè)的名字叫做雅可比矩陣(JacobianMatrix)。
卡爾·雅可比（CarlGustavJacobJacobi，1804~1851）,德國(guó)數(shù)學(xué)家。

雅可比矩陣其實(shí)就是導(dǎo)數(shù)的多維推廣，如果一個(gè)向量函數(shù)在某一點(diǎn)處所有函數(shù)關(guān)于所有分量的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么稱它的這一點(diǎn)是可導(dǎo)的，并且它的導(dǎo)數(shù)就是雅可比矩陣。

將一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)推廣為多維就成了雅克比矩陣，同樣可微性我們也是做類似的推廣。我們也是希望因變量的誤差值是一個(gè)關(guān)于自變量變化值的高階無(wú)窮小，而這是因?yàn)樽宰兞康淖兓皇且粋€(gè)向量，因此我們就需要有一個(gè)常數(shù)矩陣A，即有如下定義，若存在n×m的常數(shù)矩陣，使得向量函數(shù)滿足
那么我們就說(shuō)該函數(shù)在a這一點(diǎn)是可微的。

同樣道理可導(dǎo)的話，我們推不出可微來(lái)，但是可微的話一定可以推出各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，同時(shí)雅可比矩陣就是可微性定義里邊的那個(gè)矩陣A。

4.結(jié)論

好了，通過(guò)上面的一系列論述過(guò)程，我們可以體會(huì)到兩點(diǎn)。第一，可導(dǎo)和可微是完全不同的兩個(gè)概念，切不可混為一談。細(xì)節(jié)體現(xiàn)功底，對(duì)相近概念之間差別的認(rèn)識(shí)，充分反映了一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)水平。第二，推廣是數(shù)學(xué)中很重要的一個(gè)思想，我們的可微性，也是經(jīng)歷了一個(gè)由一元函數(shù)向多元函數(shù)，再向向量函數(shù)推廣的過(guò)程。理解并自覺的運(yùn)用推廣這種思想，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有著非常大的幫助。

參考文獻(xiàn)

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