無限不循環(huán)小數(shù)，統(tǒng)稱為無理數(shù)。√2的出現(xiàn)，誕生了人類進(jìn)步史上的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

首先，簡單回顧下“數(shù)”的分類

在數(shù)學(xué)上，任何一個數(shù)都可以表示為復(fù)數(shù)z=a+bi的形式。其中，a為實(shí)部，b為虛部(i為虛數(shù)單位)。

當(dāng)b=0時，z=a為實(shí)數(shù)；

當(dāng)a=0時，z=bi為純虛數(shù)；

當(dāng)a、b均不為0時，z=a+bi為復(fù)數(shù)。

而實(shí)數(shù)，又分為有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)比較好理解，頭疼的是無理數(shù)。√2、圓周率π、自然常數(shù)e等都是常見的無理數(shù)。而正是因?yàn)闊o理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，誕生了人類進(jìn)步史上的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

(關(guān)于第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事，將在文末簡單講述。)

無理數(shù)讓人頭疼的地方，不單單是它的“無限”，更主要的是它的“不循環(huán)”。像圓周率π，借助電腦已計算出小數(shù)點(diǎn)后10萬億位，也找不到其小數(shù)點(diǎn)后數(shù)字出現(xiàn)的任何規(guī)律。

無理數(shù)√2是由數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的徒弟希伯索斯，在研究邊長為1的等腰直角三角形斜邊長時發(fā)現(xiàn)的。

那么，我們借助等腰直角三角形，來談一談√2為什么會出現(xiàn)無限不循環(huán)這一結(jié)論。

√2的無限不循環(huán)論證

我們從兩個方面來進(jìn)行論證，第一步是先用逼近法得出√2的近似值，第二步是用反證法證明√2是無理數(shù)。由此得出，√2是無限不循環(huán)小數(shù)的結(jié)論。

(接下來可能比較枯燥，沒有太多的配圖，有勞耐心閱讀，用時約5分鐘)

第一步，逼近法，求得近似值

勾股定理c2=a2+b2

設(shè)某直角三角形為等腰直角三角形，且直角邊長為1

則a=b=1，所以c2=12+12=2，得c=√2

12=1，22=4，c2=2

則1＜c＜2，即1＜√2＜2

再取1和2的中間數(shù)1.5，1.52=2.25＞2，得√2＜1.5

當(dāng)取1.42=1.96＜2，得1.4＜√2＜1.5

當(dāng)取1.4142122＜√2＜1.4142142；

當(dāng)取1.4142135612＜√2＜1.4142135632；

依此類推，可得到√2≈1.4142135623730950488...

那么，√2的小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)會是有限的嗎？即使無限，會出現(xiàn)循環(huán)嗎？這將是我們下一步需要做的事情。

(下圖與本文關(guān)聯(lián)度不大，占個位置避免眼花，有興趣的可以拓展了解下)

第二步，反證法，證明√2是無限不循環(huán)小數(shù)

首先，我們確定的是，√2為正數(shù)，更是一個實(shí)數(shù)。

另外，我們知道實(shí)數(shù)的一個特性：

奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)；

偶數(shù)x偶數(shù)=偶數(shù)；

奇數(shù)x偶數(shù)=偶數(shù)。

雖然我們較難輕易直接證明√2無限不循環(huán)，但可以通過反證法，假設(shè)√2為有限小數(shù)，或無限循環(huán)小數(shù)，即√2為有理數(shù)。

任何一個有理數(shù)，都可以表示成分?jǐn)?shù)形式，即a/b，其中a、b均為整數(shù)。

所以，設(shè)√2=a/b，且a、b已互質(zhì)(沒有公約數(shù))，

則(√2)2=(a/b)2

?2=a2/b2?2b2=a2

2b2必為偶數(shù)?a2為偶數(shù)

axa=偶數(shù)?a為偶數(shù)

a為偶數(shù)?a2必能被4整除

那么，1/2a2仍為偶數(shù)

再由(√2)2=(a/b)2?b2=a2/2，則b2也是偶數(shù)

bxb=偶數(shù)?b為偶數(shù)

a為偶數(shù)，b為偶數(shù)，說明a、b還有公約數(shù)

這與“a、b已互質(zhì)”的前提矛盾

若說a、b已互質(zhì)的前提假設(shè)錯誤，那么a、b可以化簡直至最終互質(zhì)。顯然，這個假設(shè)前提不是矛盾的關(guān)鍵點(diǎn)所在。

那么，這個矛盾的關(guān)鍵點(diǎn)，最終還只能是“設(shè)√2=a/b”不成立。即√2不是有理數(shù)。

作為實(shí)數(shù)的√2不是有理數(shù)，那么√2就只能是無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)。

如上的反證法，是較常用的“奇偶分析法”。當(dāng)然，證明√2是無理數(shù)(無限不循環(huán)小數(shù))的方法不限于此，其他還有如“尾數(shù)證明法”，“連分?jǐn)?shù)法”，“構(gòu)圖法”等。如有其他更好證明方法的伙伴，歡迎下方評論區(qū)留言討論。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)(簡述)

約公元前５世紀(jì)，有著“數(shù)學(xué)教父”之稱的畢達(dá)哥拉斯，發(fā)現(xiàn)了“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”，西方稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”，在中國稱之為“勾股定理”(最早約公元前1100年，西周初年的商高提出了“勾三股四弦五”)。

畢達(dá)哥拉斯經(jīng)長期研究，各地宣講、收徒，雖然過程不乏艱辛，但最終名聲顯赫，非常權(quán)威。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾流傳一句名言，“萬物畢數(shù)”。他們所說的“數(shù)”，按現(xiàn)今分類只是“有理數(shù)”范疇。

他們認(rèn)為，世上萬物都可以用數(shù)來表達(dá)，其中“整數(shù)”是上帝創(chuàng)造的，完美無缺。而分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)的比。除了整數(shù)和分?jǐn)?shù)外，世上不可能再有其他什么數(shù)了。

然而，畢達(dá)哥拉斯的一個學(xué)生希伯索斯，在研究邊長為1的正方形時，發(fā)現(xiàn)其對角線長√2既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，而是介于1和2之間的一個數(shù)。

1和2之間顯然不再有整數(shù)，那么√2是不是介于1和2之間的某個分?jǐn)?shù)呢？

即：3/2；4/3；5/3，5/4；6/4，6/5；7/4，7/5，7/6；8/5，8/6，8/7；9/5，......當(dāng)中的一個？

然后，他分別求證這些數(shù)，看有沒有平方等于2的，結(jié)果可想而知。

......

希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷。證明了它不能同連續(xù)的無限直線等同看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。

誘發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的一個間接因素是之后“芝諾悖論”，它更增加了數(shù)學(xué)家們的擔(dān)憂：數(shù)學(xué)作為一門精確的科學(xué)是否還有可能？

直至約公元前370年，這個矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。也正是由于第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學(xué)走上完全不同的發(fā)展道路，為世界數(shù)學(xué)作出了另一種杰出的貢獻(xiàn)。