談到最X的數學公式（X處一般可以隨意填），人們一般都會談到歐拉關于復數指數的一個恒等式：

因為這個公式聯系了世界上五個最重要的數字：表示什么都沒有的0，表示一個的1，圓周率的π，自然對數的底e和虛數單位i，這個公式如此的簡潔，但是在數學中又如此的重要，凡是學習了歐拉公式的人無不驚嘆于歐拉深邃的思想。

為了了解它，首先我們要從“數系”的拓展開始。

自然數

在人們的生產和生活過程中，逐漸對數字產生了需求。人們為了給牛羊等牲畜計數，產生了自然數的概念。自然數就是全體正整數，也就是一個集合{1,2,3,4…}（有些教材把0也歸類為自然數）。

自然數集合對加法是封閉的。所謂封閉，就是說如果A和B都是自然數，那么A+B也是自然數。例如2+3=5，4+6=10。但是，自然數對減法不是封閉的，也就是說，如果A和B都是自然數，A-B不一定是自然數。例如3-2=1還是自然數，但是5-8=-3就不是自然數了。

整數

也許曾經有一段時間，人們認為5-8是沒有意義的。就好像“我一共有5只羊，但是卻要殺8只羊招待客人，還剩下幾只羊？”這種問題根本不會發生。

但實際上，只要我們去別人家借三只羊就可以滿足要求，此時我們擁有的羊就變成了負債3只。也就是-3的含義。所以，人們又發明了0和負整數。正整數，零和負整數合成了整數集合{……-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4……}

整數對加減法都是封閉的，對乘法也是封閉的，但是對除法就不封閉了。也就是說，如果A和B都是整數，A÷B就不一定是整數。例如4÷2=2是整數，但是3÷2=1.5就不是整數。

有理數

為了解決除法封閉性的問題，人們發明了分數。在4000年前，古埃及人和古希臘人就在使用分數了。公元前5世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯將整數和分數合在一起，提出了有理數的概念。

所謂有理數，就是可以寫成兩個整數的比的數。寫作集合就是

這樣一來，有理數的加、減、乘、除（分母不能為零）就都封閉了。

畢達哥拉斯等人沉醉于自己的成就，他們認為所有的數字都是有理數。但是很快，學派內部的學者希帕索斯就發現了問題：如果一個直角三角形的兩個直角邊都是1，那么斜邊無法用兩個整數的比來表示。并由此引發了第一次數學危機。

這個問題在于，有理數對于開方運算是不封閉的，例如：√4=2是有理數，但是√2就不是有理數。

實數

人們經過長期的研究，終于發現不僅有可以表示成兩個整數的比的有理數，還有不能表示成整數比的無限不循環小數：無理數。人們把有理數和無理數合在一起，稱為實數。實數與數軸上的點一一對應。

在數軸上，我們不僅能找到整數1、2、3…，還能找到分數2/3，也能找到e、π、√2等無理數。

但是，數系并沒有到此結束。因為人們發現√-1還是無法在實數范圍內找到答案。也許有人會說：這個數本身就不存在啊！任何一個數的平方都一定是非負的，所以怎么會有一個數字的平方等于-1呢？

復數

數學家們并不這樣認為。他們覺得這個數字就好像5-8一樣，在某個時刻就會找到它的用處。的確，現在的物理學和數學中，這個數字的作用非常大。這就是虛數。

人們定義虛數單位i的含義是i=√-1，也就是說：

i每4次冪循環一次。我們按照這個規律可以計算出i的2018次冪等于-1。

實數和虛數可以合在一起，就構成了復數：形如a+bi的數字，其中a和b都是實數，而i是虛數單位。

復數可以用復平面上的一個點（或者一個有向線段）表示。

復平面是由實軸（OX軸）和虛軸（OY軸）構成的平面。實軸就是實數軸，上面的每一個點表示一個實數，例如A點就表示1。虛軸是一個少了原點的數軸，每一個點表示一個虛數，例如B點就表示i。那么平面上的C點在實軸上投影為2，在虛軸上投影為3，所以C點表示的復數就是2+3i.

復數的加減乘除規則與實數非常類似。例如：

A=1+i，B=2+3i，則

A+B=3+4i；A-B=-1-2i，A×B=（2-3）+（2+3）i=-1+5i等。

顯然，復數內的加減乘除（分母不為零）都是封閉的，而且復數的實數次冪也是復數。

不過，問題也接踵而至：一個數的復數次冪是什么？

歐拉公式

一個整數的有理數冪很簡單

對于無理數冪，例如2的π次冪，我們總可以用兩個有理數去逼近，也就是說我們知道

只要我們愿意，總可以把精度無限提高，這樣無理數冪次的含義也被我們弄清楚了。

可是，2的i次冪到底是什么？人們仿佛毫無頭緒。直到歐拉出現了。歐拉提出了著名的歐拉公式：

其中θ是一個實數，e是自然對數的底2.71828…

利用這個公式，我們就可以計算一個數的復數次冪了。例如：

其中ln2表示以e為底2的對數，它是一個實數。

有了這個公式，復數在乘方上也封閉起來了。而且，如果我們令θ=π代入公式，就會得到

這就是被譽為世界最美公式的歐拉恒等式。

歐拉公式的證明和應用

歐拉公式有許多證明方法，比如可以使用泰勒展開。

泰勒展開公式是說：一個光滑的函數可以展開成一系列函數的形式。例如e^x、cosx和sinx可以分別展開成下列形式：

我們把x=iθ代入上述公式，就可以發現歐拉公式的左右兩邊相等。此外還有求導、積分等方法。

使用歐拉公式可以解決非常多的問題，尤其在實變函數和物理中電學問題里，經常會把一個三角函數寫作復數形式進行求解。沒有歐拉，我們很難解決交流電中的許多計算，也難以實現大規模的電氣化。

順便一說，1783年，76歲的歐拉在一起和家人聚餐，在陪孫子玩的時候他突然停下，對大家說：我死了。然后就與世長辭了。歐拉用自己的生命證明了：一個真正的數學家是沒有什么不能預測的。