傅里葉變換是實(shí)變函數(shù)的哦？

數(shù)學(xué)上也并不是巧合。

首先明確一點(diǎn)，對(duì)于實(shí)值信號(hào)和有對(duì)稱性的純虛復(fù)信號(hào)來(lái)說(shuō)，其傅里葉變換是存在對(duì)稱性的，沒(méi)有對(duì)稱性的純虛信號(hào)或非純虛復(fù)信號(hào)來(lái)說(shuō)不存在對(duì)稱性。

這個(gè)對(duì)稱性其實(shí)就是實(shí)值信號(hào)傅里葉變換的一個(gè)重要性質(zhì)：共軛對(duì)稱。

推導(dǎo)的話大致如下：

因?yàn)槿我庖粋€(gè)函數(shù)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。

而很容易通過(guò)將 ? 這個(gè)形式帶入到傅里葉變換的公式中可以證明：奇函數(shù)的FT是奇函數(shù)，偶函數(shù)的FT是偶函數(shù)。

引入虛函數(shù)和實(shí)函數(shù)的概念的話，也很容易證明：實(shí)偶函數(shù)的FT是實(shí)偶函數(shù)，實(shí)奇函數(shù)的FT是虛奇函數(shù)；虛偶函數(shù)的FT是虛偶函數(shù)，虛奇函數(shù)的FT是實(shí)奇函數(shù)。

進(jìn)一步的，自然就可以想到，即便函數(shù)本身不具備對(duì)稱性，實(shí)函數(shù)可以拆解為實(shí)偶函數(shù)+實(shí)奇函數(shù)，它的的FT是實(shí)偶函數(shù)+虛奇函數(shù)。我們知道傅里葉變換的結(jié)果是不能在一張圖里面畫出來(lái)的，所以在實(shí)部和虛部?jī)蓮垐D上，都可以看到對(duì)稱性。即實(shí)函數(shù)的傅里葉變換，其實(shí)部為頻率的偶函數(shù)，虛部為頻率的奇函數(shù)。

用以上的方法也可以證明，虛偶函數(shù)的頻譜為虛偶函數(shù)，虛奇函數(shù)的頻譜為實(shí)奇函數(shù)，結(jié)合以上實(shí)值信號(hào)的頻譜對(duì)稱性可知，通常意義上的復(fù)信號(hào)不具備對(duì)稱性。

ps: 如果將實(shí)值函數(shù)的FT表示為模和相位形式，結(jié)合函數(shù)的嵌套也很容易證明，模是偶函數(shù)，而相位是奇函數(shù)。