求逆元的方法及例題？

逆元是指一個(gè)數(shù)的乘法逆元，它的定義是：如果一個(gè)數(shù) $a$ 在模 $m$ 意義下存在乘法逆元 $b$，則有 $ab \equiv 1 \pmod m$。

在模意義下的逆元可以用于求解不定方程組、求解同余方程組、解決線性同余方程、求模意義下的階等問(wèn)題。

求逆元的方法有如下幾種：

先求出最大公約數(shù)，如果最大公約數(shù)為 $1$，則有逆元，否則無(wú)逆元。

擴(kuò)展歐幾里得算法，求出模意義下的逆元。

使用擴(kuò)展歐幾里得算法求出模意義下的逆元的迭代過(guò)程。

例題：

求解下列同余方程組：

$\begin{cases} 2x \equiv 3 \pmod 5 \ 3x \equiv 2 \pmod 7 \end{cases}$

解：

根據(jù)求逆元的方法，我們可以求出 $2$ 在模 $5$ 意義下的逆元為 $3$，$3$ 在模 $7$ 意義下的逆元為 $5$。

于是，我們可以得到如下同余方程組：

$\begin{cases} 2 \cdot 3x \equiv 3 \cdot 3 \pmod 5 \ 3 \cdot 5x \equiv 2 \cdot 5 \pmod 7 \end{cases}$

移項(xiàng)得到：

$\begin{cases} 6x \equiv 9 \pmod 5 \ 15x \equiv 10 \pmod 7 \end{cases}$