費馬猜想有幾個？

費馬，可能很多朋友沒聽過這個名字，但費馬大定理，在數學界的知名度很高，費馬是一名數學愛好者（費馬，1601~1665）。因為他還有一份正經工作，他的職業是一名律師。但就是這么一個律師，提出了很多猜想，讓后來的數學家們花了很多時間去證明。因此他也被稱為業余數學家之王，他在數學上的成就不低于職業數學家，而且似乎對數論最有興趣，也對現代微積分的建立有所貢獻。

費馬這個人很有意思，他在看書時經常會有自己的猜想，并在書上寫道：這些猜想我已經證明完了，只不過紙上空間太小就沒寫下來。后來這些筆記被他的兒子整理成書，但我們并不知道他到底是忽悠人還是真的都證明出來了，因為這些猜想讓數學家們一證經常就是上百年，也有的證了300多年。

費馬提出的比較知名的猜想有下面幾個：

費馬數

費馬螺線

費馬平方和定理

費馬小定理

費馬大定理

費馬數

在1640年，費馬提出了一個猜想，認為當n是非負數時，$F_{n}$都是素數。

F_{n}=2^{2^{n}}+1

這個表達式的數據被后人稱為費馬數。

我們來看幾個例子：

當n=0時，$F_{0}=2^{2^{0}}+1=3$

當n=1時，$F_{1}=2^{2^{1}}+1=5$

當n=2時，$F_{2}=2^{2^{2}}+1=17$

當n=3時，$F_{3}=2^{2^{3}}+1=257$

當n=4時，$F_{4}=2^{2^{4}}+1=65537$

以上的5個例子都是素數，因此費馬就斷定$F_{n}$都是素數。

那這個猜想到底對不對呢？很多數學家就開始證，直到1732年偉大的數學家歐拉否定了這一猜想，怎么否定的呢？因為當n=5時，有

F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641 \times 6700417

那有同學就會問了，就這么簡單的一個問題，怎么會忽悠了數學家這么多年，因為質數分解這個問題一直都很難解決，直到今天也沒有一個很好的方法。

事實上，n=5~11時，結果都不是質數

到2018年為止，也只驗證到了n=11的情況，從12之后是否是質數，仍然沒有結論。

費馬螺線

費馬螺線是拋物螺線的一種，這并不是一個猜想，它的的公式比較簡單：

r=\pm \theta^{1 / 2}

我們可以用Python把它畫出來。

費馬平方和定理

這是費馬在1640年提出的，內容為：奇素數能表示為兩個平方數之和的充分必要條件是該素數被4除余1。

比如：

13 % 4 = 1 2^2 + 3^2 = 13

29 % 4 = 1 2^2 + 5^2 = 29

這個猜想在1747年，也就是猜想提出來的137年后，被偉大的數學家歐拉證明是成立的。

費馬小定理

這個猜想是費馬在1636年提出，假如a是一個整數，p是一個質數，那么a^p-a是p的倍數。

這個猜想也同樣是被歐拉在1736年證明的，但后人在整理萊布尼茨的未發表的手稿時，發現他早在1683年用了幾乎相同的方式證明了這個猜想。

可以看到，上面4個猜想，要么被證明是錯的，要么在18世紀已經被證明了。因此知名度都沒有費馬大定理高。

費馬大定理

它的內容為：

當整數n>2時，關于x,y,z的不定方程

x^{n}+y^{n}=z^{n}

沒有正整數解。

這個定理在數學屆的地位很高，高到什么程度呢？基本上所有有名氣的數學家都試圖證明，

其中歐拉在1770年，也就是這個猜想提出來130年后，證明了n=3時定理成立；又過了55年，

高斯和熱爾曼同時獨立證明了費馬大定理5次冪的成立。但對于一般情況，還是沒有結論。在這期間有一些數學家宣布證明了這個定理，但最終都發現證明過程有問題。直到1995年

英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）用了整整7年的時間，將其徹底證明，并得到世界公認，這個證明過程寫了兩篇論文，總共130頁。這才被叫做費馬大定理。

這個里面有一段插曲，就是在1908年時，德國人沃爾夫斯凱爾宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世后一百年內，第一個證明該定理的人，10萬馬克在當時算是巨款了，吸引了不少人嘗試并遞交他們的“證明”。

那為什么他要設立這個獎金呢？有三個故事，第一個故事比較浪漫，講的是他被一個女士拋棄，想要自殺，但突然看到了一篇論文中的一個錯誤，這個論文就是在證明費馬大定理的缺陷。這又重新燃起了他活下去的希望，因此設立獎金；第二個故事則比較平淡無奇，講的是他的妻子太精明，他不想去世后妻子留下太多遺產，就通過設立獎項的名義把資產捐了出去；第三個故事跟第一個比較像，都是講他想要自殺，但自殺前他在圖書館里看到了這個定理,看看這些個大佬，自殺前還要去上自習，他覺得數學比女人更有價值，所以不再想自殺。

但令他沒想到的是，在一戰之后，馬克大幅貶值，這個獎金的吸引力也大幅下降，在1995年定理被證明后，這個獎金已經下降到了3萬英鎊。但這時候，獎金已經不重要了，因為這個證明，讓安德魯·懷爾斯獲得了包括邵逸夫獎在內的數十個獎項，也讓他名垂青史。