指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)的方法？

1.y=c(c為常數(shù)) y'=0

2.y=x^n y'=nx^(n-1)

3.y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4.y=logax(a為底數(shù),x為真數(shù)) y'=1/x*lna

y=lnx y'=1/x

5.y=sinx y'=cosx

6.y=cosx y'=-sinx

7.y=tanx y'=1/cos^2x

8.y=cotx y'=-1/sin^2x

9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11.y=arctanx y'=1/1+x^2

12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

13.y=u^v ==> y'=v' * u^v * lnu + u' * u^(v-1) * v

在推導(dǎo)的過程中有這幾個(gè)常見的公式需要用到：

1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]g'(x)『f'[g(x)]中g(shù)(x)看作整個(gè)變量,而g'(x)中把x看作變量』

2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

3.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y),則有y'=1/x'

證：1.顯而易見,y=c是一條平行于x軸的直線,所以處處的切線都是平行于x的,故斜率為0.用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0.

2.這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證,因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明.

3.y=a^x,

△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

如果直接令△x→0,是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的,必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù)β=a^△x-1通過換元進(jìn)行計(jì)算.由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：△x=loga(1+β).

所以(a^△x-1)/△x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

顯然,當(dāng)△x→0時(shí),β也是趨向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.

把這個(gè)結(jié)果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna.

可以知道,當(dāng)a=e時(shí)有y=e^x y'=e^x.

4.y=logax

△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

因?yàn)楫?dāng)△x→0時(shí),△x/x趨向于0而x/△x趨向于∞,所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)=logae,所以有

lim△x→0△y/△x=logae/x.

可以知道,當(dāng)a=e時(shí)有y=lnx y'=1/x.

這時(shí)可以進(jìn)行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導(dǎo)了.因?yàn)閥=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx(nlnx)'=x^nn/x=nx^(n-1).

5.y=sinx

△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)

所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx

6.類似地,可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx.

7.y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

9.y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10.y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11.y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12.y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

13.聯(lián)立：

①(ln(u^v))'=(v * lnu)'

②(ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)

另外在對雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)通過查閱導(dǎo)數(shù)表和運(yùn)用開頭的公式與

4.y=u土v,y'=u'土v'

5.y=uv,y=u'v+uv