如何理解薛定諤方程？

本文較為硬核，請(qǐng)酌情跳過部分內(nèi)容。

不過，若是你真想理解薛定諤方程，我建議你全看完。

薛定諤：德布羅意的論文是在說，波可以是粒子，粒子也可以是波。

德拜：有了波，就要有個(gè)波動(dòng)方程。

薛定諤：我試試。

德布羅意方程組

二十世紀(jì)初，物理學(xué)界有一項(xiàng)大發(fā)現(xiàn)：

光，具有波粒二象性。

（可以用波動(dòng)模型去描述光，也可以用粒子模型去描述光。）

這啟發(fā)了德布羅意，于是這位公子提出了物質(zhì)波的思想。

簡(jiǎn)單地說，人們習(xí)慣于將原子、電子這些實(shí)物用粒子模型去描述，而忽略了它們的波動(dòng)屬性。

（這可不是一拍腦門兒就想出來的，而是德布羅意對(duì)哈密頓力學(xué)的深刻理解的體現(xiàn)。）

為此，德布羅意還寫出了這些實(shí)物對(duì)應(yīng)的波的頻率和波長(zhǎng)的公式：

這兩個(gè)公式被稱為德布羅意方程組。

f是波的頻率。

E是微觀粒子的能量。

λ是波的波長(zhǎng)。

p是微觀粒子的動(dòng)量。

h是普朗克常數(shù)。

h=6.62606896×10^（-34） J·s

這種波后來被稱為物質(zhì)波，而薛定諤方程就是在描述物質(zhì)波，主要用于描述電子的物質(zhì)波。

（電子、原子、石頭、炮彈、星球、……，都可以被看成是物質(zhì)波。）

經(jīng)典的波函數(shù)

物理學(xué)的精髓是描述，最好是用數(shù)學(xué)語言描述。

如何用數(shù)學(xué)語言描述物質(zhì)波呢？

別急，咱們先看看如何用數(shù)學(xué)語言描述經(jīng)典的波。

你可能會(huì)問：上面的德布羅意方程組，難道沒有用數(shù)學(xué)語言描述物質(zhì)波嗎？

可以說，描述地不完整。

至于怎么不完整？

還是要從經(jīng)典的波談起。

波是振動(dòng)形式在空間中的傳遞，想要描述波，就要先描述振動(dòng)。

如何描述振動(dòng)？

首先要清楚，振動(dòng)有三個(gè)要素：

幅值、頻率、相位。

著重介紹一下相位，相位就是振動(dòng)周期中的一個(gè)時(shí)刻。比較多個(gè)振動(dòng)的先后順序的時(shí)候，就是在比較相位。

這三個(gè)要素可以被振動(dòng)函數(shù)整合到一起。

在這里只考慮最簡(jiǎn)單的振動(dòng)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)函數(shù)是正弦函數(shù)（也可以是余弦函數(shù)）。

先看一下最簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)：

為它添加三個(gè)參數(shù)，就形成了振動(dòng)函數(shù)：

u_0表示幅值。

ω表示角頻率，和頻率有相同的單位。

（ωt+φ）表示相位，其中的φ表示初始相位。

振動(dòng)的三個(gè)要素，都被包含在振動(dòng)函數(shù)里。

振動(dòng)函數(shù)只有一個(gè)自變量，就是時(shí)間：t

（為了待會(huì)兒和波函數(shù)比較，我需要在這里使用偏向于數(shù)學(xué)的語言。）

那么，如何描述一個(gè)波？

波有五個(gè)要素：

幅值、頻率、波長(zhǎng)、波速、相位。

和振動(dòng)相比，多了波長(zhǎng)和波速。

這五個(gè)要素可以被經(jīng)典的波函數(shù)整合到一起。

頻率、波長(zhǎng)、波速這三個(gè)量，只有兩個(gè)是獨(dú)立的，知道任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)。

所以，暫時(shí)可以減去一個(gè)要素，只關(guān)注其中的四個(gè)要素。

經(jīng)典的波函數(shù)自然也要包含這四個(gè)要素：

幅值、相位，以及頻率、波長(zhǎng)、波速中的任意兩個(gè)量。

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化問題，這里介紹一維的波函數(shù)，波只朝一個(gè)方向傳播。

并且，不考慮波的衰減，波的幅值不變。

在這里只考慮最簡(jiǎn)單的波：簡(jiǎn)諧波。

（任意波形的波，都能由一系列的簡(jiǎn)諧波疊加而成。）

簡(jiǎn)諧波是簡(jiǎn)諧振動(dòng)在空間中的傳遞，可以從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)函數(shù)出發(fā)，推導(dǎo)出簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。

由于簡(jiǎn)諧波在空間中傳播，因此它有有兩個(gè)自變量，時(shí)間：t、距離：x。

對(duì)于一個(gè)以波速v傳播的簡(jiǎn)諧波，例如下圖：

A點(diǎn)離波源較近，B點(diǎn)離波源較遠(yuǎn)，因此B點(diǎn)比A點(diǎn)的相位要滯后。

如果分別寫出A點(diǎn)和B點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)，那么將A點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)向右平移就可以得到B點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)。

（左加右減，基本的數(shù)學(xué)知識(shí)還是要有的。）

向右平移的“距離”，就是簡(jiǎn)諧波從A傳到B所需的時(shí)間。

（距離除以波速就是這個(gè)時(shí)間。）

以此類推，可以寫出波速為v，與波源距離為x的點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)。

這其實(shí)就是波函數(shù)：

為了和上面的德布羅意方程組銜接，把波函數(shù)寫成用頻率f和波長(zhǎng)λ表示的形式。

利用這兩個(gè)公式，可以把角頻率ω和波速v替換掉。

(有高中物理的基礎(chǔ)的話，對(duì)這兩個(gè)公式應(yīng)該很熟悉。)

可以得到：

整理一下：

觀察一下經(jīng)典的波函數(shù)，它整合了我們關(guān)注的四個(gè)要素，所以它完整地描述了經(jīng)典的波。

還可以利用歐拉公式：

（i是虛數(shù)單位，i的平方等于-1。）

把經(jīng)典的波函數(shù)寫成復(fù)指數(shù)形式：

（指數(shù)項(xiàng)前面有個(gè)負(fù)號(hào)，這只是個(gè)習(xí)慣，也可以不帶負(fù)號(hào)。）

有不少讀者反應(yīng)：不理解把波函數(shù)寫成復(fù)指數(shù)形式的過程。

筆者在此詳細(xì)說明一下：

（部分讀者可以酌情跳過。）

首先需要一個(gè)公式：

（后面會(huì)說到這個(gè)公式的意義。）

把上面的那兩個(gè)歐拉公式分別相加和相減，會(huì)得到：

在這里簡(jiǎn)單介紹一下復(fù)數(shù)和復(fù)平面：

依葫蘆畫瓢，可以得到下面這個(gè)公式：

所以可以得到：

然后我們需要知道的是：

任意波形的波，都能由一系列的正弦波相加而成！

把正弦函數(shù)或余弦函數(shù)寫成復(fù)指數(shù)形式以后，我們可以發(fā)現(xiàn)：

一系列的正弦波相加，其實(shí)就是一系列的復(fù)指數(shù)函數(shù)相加。

所以，可以把任意一個(gè)波的“最小單元”看成是：復(fù)指數(shù)函數(shù)。

（我們之前用正弦函數(shù)代表波，也是因?yàn)榭梢园讶我庖粋€(gè)波的“最小單元”看成是正弦函數(shù)。）

這樣一來，我們也可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)來表示波：

波函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的內(nèi)容是為了最終推導(dǎo)薛定諤方程做鋪墊。

至于為什么要寫成復(fù)指數(shù)形式，是因?yàn)閷?duì)相位的表達(dá)更加方便。

波函數(shù)是正弦函數(shù)（余弦函數(shù)），而正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)僅僅只是相位超前了90度。

（導(dǎo)數(shù)就是變化率，有高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的話，應(yīng)該很熟悉。）

大部分人最早接觸的導(dǎo)數(shù)是這個(gè)：

它反應(yīng)不出對(duì)正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）求導(dǎo)的真正意義：

對(duì)寫成復(fù)指數(shù)形式的波函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需要乘一個(gè)虛數(shù)單位i。

乘一個(gè)虛數(shù)單位i，就表示相位超前了90度。

除以一個(gè)虛數(shù)單位i，就表示相位滯后了90度。

這個(gè)公式的意義也在于此。

物質(zhì)波的波函數(shù)

和經(jīng)典的波函數(shù)一比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)：

德布羅意方程組并沒有完整地描述物質(zhì)波。

（沒有把波的要素整合到一起。）

想要完整地描述物質(zhì)波，就需要寫出物質(zhì)波的波函數(shù)。

有了前面的鋪墊，這一步非常簡(jiǎn)單。

直接把德布羅意方程組代入經(jīng)典的波函數(shù)就行了！

可以得到：

（用能量和動(dòng)量分別替換經(jīng)典的波函數(shù)中的頻率和波長(zhǎng)。）

還可以定義一個(gè)約化普朗克常數(shù)：

讓波函數(shù)變成：

由于物質(zhì)波很特殊，所以用一個(gè)專門的符號(hào)Ψ來表示物質(zhì)波的波函數(shù)：

也可以寫得簡(jiǎn)單一點(diǎn)：

你經(jīng)常在科普量子力學(xué)的作品中看到的那個(gè)Ψ，就是這里的波函數(shù)。

每個(gè)波函數(shù)，都描述了一種物質(zhì)波。

經(jīng)典的波動(dòng)方程

波函數(shù)有了，那波動(dòng)方程該怎么寫？

別急，咱們先看另一個(gè)問題：

我知道有人會(huì)問：

波函數(shù)不是已經(jīng)可以描述物質(zhì)波了嗎，為什么還要再寫個(gè)波動(dòng)方程？

簡(jiǎn)單地說，波函數(shù)是個(gè)代數(shù)方程，而物理學(xué)家需要的波動(dòng)方程是個(gè)微分方程。

說白了，波函數(shù)只是表像，而波動(dòng)方程才是內(nèi)在的規(guī)律。

（說得數(shù)學(xué)一點(diǎn)，代數(shù)方程只是表像，而微分方程才是內(nèi)在的規(guī)律。）

從波動(dòng)方程出發(fā)，可以求解出各種各樣的波函數(shù)。

就像從牛頓第二定律出發(fā)，可以求解出各種各樣的運(yùn)動(dòng)軌跡。

（這個(gè)類比非常恰當(dāng)，微觀粒子的波函數(shù)就相當(dāng)于宏觀物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。）

而薛定諤要構(gòu)建的，就是可以比肩牛頓第二定律的波動(dòng)方程。

換言之，薛定諤方程之于量子力學(xué)，猶如牛頓第二定律之于經(jīng)典力學(xué)。

那這個(gè)波動(dòng)方程到底該怎么寫？

還是要借鑒經(jīng)典力學(xué)。

先觀察一下經(jīng)典的波動(dòng)方程。

當(dāng)然，這是一維波動(dòng)方程。

u是波函數(shù)，是關(guān)于t和x的函數(shù)。

c是波速。

（至于推導(dǎo)過程，夠?qū)懸黄L(zhǎng)文了，筆者在此略過。）

它有什么特點(diǎn)？

首先，有個(gè)等號(hào)。

其次，等號(hào)兩邊分別讓波函數(shù)對(duì)時(shí)間和距離求二階偏導(dǎo)數(shù)。

至于什么是偏導(dǎo)數(shù)，可以按物理意義理解成變化率。

（偏導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)只是名字不同，并沒有實(shí)質(zhì)上的差別。）

上面這個(gè)式子是對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)數(shù)，表示的是波函數(shù)隨時(shí)間變化的快慢。

上面這個(gè)式子是對(duì)距離求偏導(dǎo)數(shù)，表示的是波函數(shù)隨距離變化的快慢。

求一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)以后，還可以再對(duì)偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，這就是二階偏導(dǎo)數(shù)。

比如，對(duì)時(shí)間求二階偏導(dǎo)數(shù)：

對(duì)距離求二階偏導(dǎo)數(shù)：

（具體內(nèi)容夠?qū)懓氡疚⒎e分教材了，筆者在此略過。）

那好，咱們先把物質(zhì)波的波函數(shù)對(duì)時(shí)間和距離求偏導(dǎo)數(shù)，再看看能構(gòu)建什么樣的等量關(guān)系。

上面說過，物質(zhì)波的波函數(shù)長(zhǎng)這樣：

求偏導(dǎo)數(shù)以后，會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)：

求偏導(dǎo)數(shù)之后，物質(zhì)波的能量和動(dòng)量被提取出來了！

（至于具體怎么計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，也夠?qū)懸黄L(zhǎng)文了，筆者在此略過。）

如果可以找到能量和動(dòng)量的等量關(guān)系，那不就搞出了波動(dòng)方程嗎？

（沒錯(cuò)，就是依葫蘆畫瓢！）

經(jīng)典的能量-動(dòng)量關(guān)系

能量和動(dòng)量有什么等量關(guān)系？

在經(jīng)典力學(xué)里，有兩種運(yùn)動(dòng)的量度：

動(dòng)能：決定物體可以運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)距離。

動(dòng)量：決定物體可以運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間。

動(dòng)能是它：

動(dòng)量是它：

m是物體的質(zhì)量。

v是物體的運(yùn)動(dòng)速度。（暫且不考慮向量）

很容易看出，它們之間有著這樣的關(guān)系：

但我們需要找的是能量和動(dòng)量的關(guān)系，而能量不只包括動(dòng)能。

所以需要把上面式子的等號(hào)兩邊都加上勢(shì)能。

V是勢(shì)能。

（對(duì)于微觀粒子，按照經(jīng)典力學(xué)的框架，沒有內(nèi)能一說，所以微觀粒子的所有能量就是動(dòng)能和勢(shì)能。）

這樣就得到了經(jīng)典的能量-動(dòng)量關(guān)系。

寫出薛定諤方程

把求偏導(dǎo)數(shù)得到的物質(zhì)波的能量和動(dòng)量代入經(jīng)典的能量-動(dòng)量關(guān)系，就得到了薛定諤方程！

具體的做法是：

觀察上面求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果，會(huì)發(fā)現(xiàn)：

求偏導(dǎo)數(shù)之后，得到的是能量或動(dòng)量與波函數(shù)的乘積。

求二階偏導(dǎo)數(shù)之后，得到的是能量或動(dòng)量的平方與波函數(shù)的乘積。

所以我們先把經(jīng)典的能量-動(dòng)量關(guān)系兩邊乘一個(gè)波函數(shù)。

再?gòu)纳厦媲笃珜?dǎo)數(shù)的結(jié)果中整理出：

將這里的三個(gè)公式合在一起，就寫出了薛定諤方程！

（推導(dǎo)方法不唯一，文章里的推導(dǎo)方法僅供參考。）

和經(jīng)典的波動(dòng)方程對(duì)比一下：

會(huì)發(fā)現(xiàn)薛定諤方程只對(duì)時(shí)間求了一階導(dǎo)數(shù)，而波動(dòng)方程必須要求對(duì)時(shí)間求了二階導(dǎo)數(shù)。

怎么辦？

不用慌，還記不記得乘一個(gè)虛數(shù)單位i代表什么？

求導(dǎo)！

這就是使用復(fù)指數(shù)函數(shù)的巧妙之處！

這樣一來，薛定諤方程的左邊也是求了二階導(dǎo)數(shù)，薛定諤方程是波動(dòng)方程！

當(dāng)然，剛剛推導(dǎo)的只是一維的薛定諤方程。

里面的波函數(shù)也是一維的波函數(shù)：

而空間有三個(gè)維度：

動(dòng)量也有三個(gè)分量：

依葫蘆畫瓢，三維的波函數(shù)是：

在經(jīng)典的能量-動(dòng)量關(guān)系中，出現(xiàn)了動(dòng)量的平方。

而動(dòng)量的平方與其各個(gè)分量之間有著這樣的關(guān)系：

所以，三維的薛定諤方程是：

（能看懂一維的薛定諤方程的推導(dǎo)過程的話，在這里推導(dǎo)三維的薛定諤方程也就不成問題了。）

三維的薛定諤方程還可以寫成這樣：

寫成這樣是為了定義拉普拉斯算子：

這樣一來，可以用拉普拉斯算子把三維的薛定諤方程寫成：

也可以寫成：

寫成這樣是為了定義哈密頓算符：

用哈密頓算符來寫薛定諤方程：

這基本上就是薛定諤方程的最簡(jiǎn)形式了。

當(dāng)然，如果物質(zhì)波的能量不隨時(shí)間變化，還可以寫成定態(tài)薛定諤方程：

（定態(tài)，就是能量不隨時(shí)間變化的意思。）

薛定諤方程等號(hào)兩邊的量，本來就是能量乘波函數(shù)。

概率波詮釋

上面提到過波的五個(gè)要素，我們考慮了其中的四個(gè)要素：

幅值、相位、頻率、波長(zhǎng)。

對(duì)于物質(zhì)波，頻率表示能量、波長(zhǎng)表示動(dòng)量、相位用于比較波與波之間的先后順序。

那幅值呢？

玻恩參透了這個(gè)秘密：

波函數(shù)的模平方，是微觀粒子出現(xiàn)的概率密度。

（有向量的基礎(chǔ)知識(shí)，就知道什么是模、什么是模平方。）

所以說，物質(zhì)波是一種概率波。

既然是概率，就有個(gè)歸一化條件。

名字有些嚇人，其實(shí)就是說：

微觀粒子出現(xiàn)在所有位置的概率之和為1。

另外，上面的波函數(shù)是基于簡(jiǎn)諧波寫出來的，而任意波形的波都可以由一系列的簡(jiǎn)諧波疊加而成。

所以說，波函數(shù)是可以疊加的。

薛定諤方程的意義

薛定諤方程的建立，意味著波動(dòng)力學(xué)誕生了。

而量子力學(xué)就是由矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)合并而成的。

（矩陣力學(xué)著眼于粒子，而不是波，和波動(dòng)力學(xué)在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。）

那個(gè)時(shí)候，才算是有了量子力學(xué)。

就像相對(duì)論和相對(duì)論動(dòng)力學(xué)還差得遠(yuǎn)一樣，量子論和量子力學(xué)也還差得遠(yuǎn)。

（筆者在上一篇問答作品中提到過：相對(duì)論和相對(duì)論動(dòng)力學(xué)還差得遠(yuǎn)。）

很多介紹量子力學(xué)的教科書和科普作品都把普朗克的量子化假設(shè)作為開端，并稱普朗克為量子之父。

這種做法確實(shí)合情合理，但也讓不少人產(chǎn)生了誤解：

普朗克提出量子化假設(shè)以后，量子力學(xué)就誕生了。

普朗克是量子力學(xué)之父。

而事實(shí)是：

普朗克提出量子化假設(shè)以后，量子論誕生了。

普朗克是量子論之父。

量子論是微觀世界的一個(gè)總體框架，而量子力學(xué)是依據(jù)這個(gè)框架建立的動(dòng)力學(xué)理論。

寫出基于量子論的動(dòng)力學(xué)方程，才算是有了量子力學(xué)。

薛定諤方程就是其中的一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程。

另外，薛定諤方程可以描述電子，而化學(xué)反應(yīng)不過是原子最外層電子（價(jià)電子）的把戲。

所以，原則上，可以用薛定諤方程計(jì)算一切化學(xué)反應(yīng)的結(jié)果。

量子化學(xué)也因此而生。

薛定諤方程的缺陷

其一，上面有個(gè)標(biāo)題是經(jīng)典的能量-動(dòng)量關(guān)系，薛定諤方程是基于它建立的。

也就是說：當(dāng)微觀粒子高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，薛定諤方程就不可靠了。

解決方法：按相對(duì)論的能量-動(dòng)量關(guān)系建立波動(dòng)方程，就可以描述高速運(yùn)動(dòng)的微觀粒子了。

其二，薛定諤方程沒有考慮微觀粒子的自旋。

而電子、質(zhì)子、中子、……，這些微觀粒子都是有自旋的。

解決方法：引入泡利矩陣。

這兩個(gè)缺陷最終被狄拉克方程一舉解決。