牛頓的數學故事有哪些？

在牛頓的全部科學貢獻中，數學成就占有突出的地位。他數學生涯中的第一項創造性成果就是發現了二項式定理。據牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術》并試圖修改他的求圓面積的級數時發現這一定理的。

微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。

1707年，牛頓的代數講義經整理后出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數基礎及其（通過解方程）在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如，他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出可以利用方程系數確定方程根之冪的和數，即“牛頓冪和公式”。

牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓（或稱曲線圓）概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。并將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，于1704年發表。此外，他的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。

牛頓是經典力學理論理所當然的開創者。他系統的總結了伽利略、開普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律。

牛頓發現萬有引力定律是他在自然科學中最輝煌的成就。那是在假期里，牛頓常常來到母親的家中，在花園里小坐片刻。有一次，象以往屢次發生的那樣，一個蘋果從樹上掉了下來。一個蘋果的偶然落地，卻是人類思想史的一個轉折點，它使那個坐在花園里的人的頭腦開了竅，引起他的沉思：究竟是什么原因使一切物體都受到差不多總是朝向地心的吸引呢？牛頓思索著。終于，他發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力。他認為太陽吸引行星，行星吸引行星，以及吸引地面上一切物體的力都是具有相同性質的力，還用微積分證明了開普勒定律中太陽對行星的作用力是吸引力，證明了任何一曲線運動的質點，若是半徑指向靜止或勻速直線運動的點，且繞此點掃過與時間成正比的面積，則此質點必受指向該點的向心力的作用，如果環繞的周期之平方與半徑的立方成正比，則向心力與半徑的平方成反比。牛頓還通過了大量實驗，證明了任何兩物體之間都存在著吸引力，總結出了萬有引力定律：

F=G（m1m2/r2）（m1和m2是兩物體的質量，r為兩物體之間的距離）。在同一時期，雷恩、哈雷和胡克等科學家都在探索天體運動奧秘，其中以胡克較為突出，他早就意識到引力的平方反比定律，但他缺乏象牛頓那樣的數學才能，不能得出定量的表示。

牛頓運動三定律是構成經典力學的理論基礎。這些定律是在大量實驗基礎上總結出來的，是解決機械運動問題的基本理論依據。

1687年，牛頓出版了代表作《自然哲學的數學原理》，這是一部力學的經典著作。牛頓在這部書中，從力學的基本概念（質量、動量、慣性、力）和基本定律（運動三定律）出發，運用他所發明的微積分這一銳利的數學工具，建立了經典力學的完整而嚴密的體系，把天體力學和地面上的物體力學統一起來，實現了物理學史上第一次大的綜合。

在光學方面，牛頓也取得了巨大成果。他利用三棱鏡試驗了白光分解為的有顏色的光，最早發現了白光的組成。他對各色光的折射率進行了精確分析，說明了色散現象的本質。他指出，由于對不同顏色的光的折射率和反射率不同，才造成物體顏色的差別，從而揭開了顏色之迷。牛頓還提出了光的“微粒說”，認為光是由微粒形成的，并且走的是最快速的直線運動路徑。他的“微粒說”與后來惠更斯的“波動說”構成了關于光的兩大基本理論。此外，他還制作了牛頓色盤和反射式望遠鏡等多種光學儀器。

牛頓的研究領域非常廣泛，他在幾乎每個他所涉足的科學領域都做出了重要的成績。他研究過計溫學，觀測水沸騰或凝固時的固定溫度，研究熱物體的冷卻律，以及其他一些只有在與他自己的主要成就想比較時，才顯得遜色的課題。