橢圓過焦點的弦長最短證明？

一、幾何證明法：

過焦點F的弦AB長 = FA+FB = 離心率乘以(A到準線的距離+B到準線的距離)

= 2倍離心率·AB中點到準線的距離。

設AB中點為M,若FA ≥ FB,則F在線段BM上。

M到準線的距離 ≥ B到準線的距離,可知M到準線的距離 ≥ F到準線的距離。

而AB為通徑時,M到準線的距離 = F到準線的距離。

此時M到準線的距離取到最小值,于是AB長度也取得最小值。

二、代數方程法：

設出橢圓方程為x^2/a^+y^2/b^2=1

過焦點F(c,0)的直線方程為x=my+c(這里不能設成y=k(x-c),因為通徑的斜率不存在)。

然后方程聯立,利用弦長公式可整理成關于m的函數式。

從中求出當且僅當m=0時,弦長最短。

擴展資料：

橢圓與其他兩種形式的圓錐截面有很多相似之處：拋物線和雙曲線，兩者都是開放的和無界的。圓柱體的橫截面為橢圓形，除非該截面平行于圓柱體的軸線。

橢圓也可以被定義為一組點，使得曲線上的每個點的距離與給定點（稱為焦點）的距離與曲線上的相同點的距離的比值給定行（稱為directrix）是一個常數。該比率稱為橢圓的偏心率。

求橢圓標準方程的兩個基本方法：

定義法：關鍵在于充分利用平面幾何知識，并注意畫圖分析，充分挖掘問題中所隱含的幾何屬性，從而確定動點是否滿足橢圓的定義。

待定系數法：當已知動點軌跡為橢圓時可以使用待定系數法，其關鍵是確定橢圓焦點的位置設出橢圓方程，代入已知條件求得橢圓方程中的系數。