如何定義Monad？

Monad

A monad is just a monoid in the category of endofunctors

the category of endofunctors是自函子endofunctor的范疇(category)，Monad是自函子范疇中的Monoid。

前面我們已經了解函子的映射原理，自函子可以理解為映射范疇C到另外一個范疇C。那么自函子的范疇是什么意思？是基于自函子的新范疇嗎？經過查詢此句原出處： Here it is in context,原文是：

All told, a monad in X is just a monoid in the category of endofunctors of X, with product × replaced by composition of endofunctors and unit set by the identity endofunctor.

確實是基于范疇X的新范疇，這個新范疇看成是endofunctors on X。范疇X之上的范疇，這個新范疇的元素對象是自函子endofunctor，談到范疇就要想到元素對象和態射，那么其態射是什么呢？

前面我們解釋函子funtor工作原理時，有一句："3.壓平這兩層集合，組合所有的結果"，這個組合方式是一種自然變換natural transformation，屬于新范疇的態射，因為態射有份兩種：組合態射和元identitiy，自然變化就要對分別對X范疇中這兩種進行轉換。

所以，Monad工作原理包含兩個部分：對原范疇組合成新的范疇，這個范疇對于Monad來說必須是幺半群Monoid，可以認為Monad是一系列自函子的組合，這種組合是一種轉換，轉換的結果是Monoid。

Monad有以下特征：

Monad是一種定義將函數(函子)組合起來的結構方式。(monoid是定義元素對象組合起來的結構方式。如果元素對象是特殊種類：函數(函子)，那么它可能是Monad)這些組合的方法都是符合結合律的有一個特殊幺元，能夠和任何元素組合，導致的結果是不改變這些元素。

關鍵對最后一點幺元講解一下，以為什么需要Monad?一文中案例為說明，假設有兩個數字a和b相加，這里a和b 可能為空，Java 代碼如下：

int try_to_add_numbers( Integer a, Integer b ) { return a + b; }

如果a 和b非空，那么這個方法將會返回它們的總數，但是如果其中有一個是空的，我們會得到NullPointerException錯誤，調用客戶端得到這個錯誤必須去處理它。而函數的定義是有一個輸入類型和一個輸出類型，現在又跑出第三種類型Exception，很顯然Exception是和輸入輸出類型不屬于同一個范疇，這就不符合封閉運算了。

那么我們使用一個幺元，比如Optional來封裝結果，這樣就能保證不拋出Exception，而是將Exception錯誤通過輸出結構輸出，這種結果分兩種，要么是空，要么是有值，如果是有值，打開它就能獲得真正的計算結果。我們使用Optional與結果值結合，但是不會改變這個結果值類型。具體可見： Java8中option實現Monad

總體來說：Monoid是元素對象的組合的范疇，如果這種元素對象是函數或函子(也可能是Pipe，這就復雜了去了 )，那么Monad是自函子的組合范疇，Monad也是一種特殊的Monoid子集。

如果你對大數據Hadoop等比較熟悉，map/reduce其實也是一個Monad。

最后我們用簡單大白話(不精確有助于理解)翻譯一下Monad的英文定義：A monad is just a monoid in the category of endofunctors，monad只不過也是一種特殊情況下的monoid，特殊在哪里呢？就是自己對自己進行轉換的集合而已。