冪零矩陣復數特征值？

冪零矩陣的特征值0是重根，而且是m重根。證明：設A是冪零矩陣，則A^n=0。

λ1是A的一個特征值，存在x1≠0，使得Ax1=λ1x1。

A^n*x1=λ1^n*x1，由于x1≠0，所以λ1^n=0，所以λ1=0。

同理由于λ的任意性可以推出冪零矩陣A的其他特征值也是0。

A是mxm矩陣，所以A有m個為0的特征值，也就是m重根。

冪零矩陣的性質：

對于具有真實（或復雜）元素的n×n個方陣N，以下是等價的：

（1）N是冪零矩陣。

（2）對于一些正整數k≤n，N的最小多項式為x^k。

（3）N的特征多項式為x^n。

（4）N的唯一特征值為0。

（5）對于所有k> 0，tr（N^k）= 0。

最后一個定理適用于特征值為0或特征值足夠大的矩陣。 （參考牛頓的證實）

這個定理有幾個結論，包括：

（1）n×n冪零矩陣的度數總是小于或等于n。

（2）冪零矩陣不是可逆矩陣的。

（3）唯一冪零且可對角化的矩陣是零矩陣。

（4）若M為實對稱矩陣，則M=0。

（5）非零的冪零矩陣A不能對角化。

（6）若A為n階冪零矩陣，則A^T，A*均為冪零陣。