三角復合函數極限法則？

極限代表的是一種趨向性，函數f(x)在x=x0處的極限與f(x)在x=x0處的函數值無關（假設f(x)在x=x0處有定義），所以函數極限定義用的是x0的去心鄰域，因為當x=x0時，|f(x)-A|=|f(x0)-A|<ε就不一定成立了，比如f(x)=0(當x≠0時),f(x)=1(當x=0時)，lim(x->0)f(x)=0,而f(0)=1,而f(x)在x=x0處的極限與f(x)在x=x0處的函數值的統一依靠連續性實現的。所以書上一般不說復合函數的極限運算，而是給出復合函數的連續性，因為復合函數的極限運算是有條件的。先給個例子：

當u=0時，y=f(u)=0,當u≠0時，y=f(u)=1,u=g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）

顯然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0處沒有極限。

因為在0的任意小的去心鄰域內都有存在ξ,使得g(ξ)=0.

這樣在0的任意小的去心鄰域內，f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到，f(g(x))在x=0處沒有極限。

所以滿足lim(x->x0)g(x)=u0,且x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0,lim(u->u0)f(u)=A.

才可以證明lim(x->x0)f(g(x))=A.證明如下：

因為lim(u->u0)f(u)=A,所以對任意ε>0,存在δ1>0,當u滿足：0<|u-u0|<δ1時，|f(u)-A|<ε,

又因為lim(x->x0)g(x)=u0,所以對上述的δ1>0,存在δ2>0，當x滿足：0<|x-x0|<δ2時，|g(x)-u0|<δ1,

又x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0,所以當x滿足：0<|x-x0|<δ2時，0<|g(x)-u0|<δ1,

于是對任意ε>0,存在δ2>0,當x滿足：0<|x-x0|<δ2時，有0<|g(x)-u0|<δ1，進而有|f(g(x))-A|<ε,

這就證明了lim(x->x0)f(g(x))=A.(如果沒有條件“x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0”，則只能有“|g(x)-u0|<δ1”，而不能進一步得到“0<|g(x)-u0|<δ1”，就會出現像上面一樣的反例。)