質數的定義是什么？

質數，在《數論》上習慣稱為素數（也叫做，不可約數），是一類特殊的整數。

素數被定義為：

只能被 1 和 自身整除的 正整數，但 1 除外。

（由于整數關于 0 對稱，于是只要將正整數部分的研究清楚了，負整數也就清楚了，因此一般不講負素數。）

數學家發現，任何一個正整數（1 除外），都可以唯一的表示為有限個素數的乘積，每個素數稱為該整數的素因子，整個乘積稱為該整數的素因子分解。例如：

6 = 2×3

當然，素因子可以重復，例如：

12 = 2 × 2 × 3

因為 如果 1 也是素數，則：

6 = 2×3 = 1×2×3 = 1 × 1 ×2×3 = ...

于是，為了，素因子分解結果唯一，我們不得不讓 1 排除在 素數 之外。

素數可以理解為：乘法運算中不可再分解的數，而加法中不可再分解的數只有1。我們可以通過1不斷相加得到所有正整數，同樣我們可以通過素數相互不斷相乘得到所有正整數（1除外）。

從正整數中找到素數是首要的問題！可以直接根據定義，一個個數判斷，但這樣太慢，數學家一般使用從正整數中排除不是素數的數（稱為合數，1除外）的辦法，稱為篩選法。

如果，正整數 a > 1 的 素因子分解 為：

a = p? × p? × ... × p?

則，一定存在一個素因子 p ∈ {p?, p?, ... p? } 使得 p ≤ ?√a。

這個很顯然！如果，每個p? > ?√a，則 p? × p? × ... × p? >( ?√a)? = a，矛盾。

而我們知道，素數在做素因子分解時，只有一個因子，即它自己，例如：

3 = 3

而合數 最少 兩個，例如：

6 = 2×3

于是 合數 a 必然存在 素因子 p ≤ √a。

于是，我們需要找出 N 內的 素數，只需要 找到 √N 內的素數，然后 用這些 素數 去判斷 √N 到 N 之間的 正整數 是否是 合數，將是合數的刪掉，剩下的就是 素數。這稱為 Eratoschenes（埃拉托斯特尼） 篩選法。實例如下：

我們先找到 10 以內的 素數：2，3，5，7；然后 對 10 到 102 = 100 進行篩選：

用 2 篩掉：11, 12, ... , 99, 100；

用 3 篩掉：11, 13, 15, 17, ... , 97, 99；

用 5 篩掉：11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 35, ..., 95, 97；

用 7 篩掉：11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, ..., 91, 97；

于是得到：11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97；有了 100 以內 的素數，然后，對 100 到 1002 = 10000 進行篩選 ...

（其實，在具體用 p 進行篩選時，只需要從 p2 開始篩選就可以了，因為 小于 p2 的數，如果具有 p 因子，則 一定具有 小于 p 的素因子，這已經被之前的小于 p 的素因子篩掉了。）

（頭條里多位老師也給出了自己的篩選法，大家可以參考借鑒！）

那么，我們使用 篩選法是否可以將 素數 篩完呢？答案是不可能，因為：

素數有無窮多個。

這是一個著名定理，證明如下：

假設，素數有限，記為 p?, p?, ..., p? 。現在，令 a = p? × p? × ... × p? + 1，顯然 a 不是任意 一個 素數，且 大于 2， 于是 a 必然是合數，于是存在 素數 p? | a （| 表示 整除）。而 p? 是 p?, p?, ..., p? 中的一員，于是 p? | p? × p? × ... × p?，進而 p? | (a - p? × p? × ... × p?) ，即 p? | 1，于是 p? = 1，而 p? 是素數 必然 p? > 1，矛盾。

將素數從 小到大排列，記為，

p? = 2, p? = 3, p? = 5, ...

數學家發現：

p? ≤ 2^{2??1}

因為：

上面那個定理的證明過程，還說明，在 p? 到 a = p? × p? × ... × p? + 1 之間必然有 一個 素數 p???，即，p??? ≤ p? × p? × ... × p? + 1，利用這個結果，進行如下證明：● 當 r = 1 時，顯然 p? = 2 ≤ 2^{21?1} = 21 = 2，定理成立；● 如果 當 r ≤ i 時，命題成立，即，p? ≤ 2^{2?}, p? ≤ 2^{21}, ..., p? ≤ 2^{2??1}，則 當 r = i + 1 時，根據 前面的 不等式，有：p??? ≤ p? × p? × ... × p? + 1 ≤ 2^{2?} × 2^{21} × ... ×2^{2??1} + 1 = 2^{2? + 21 + ... + 2??1} + 1 = 2^{2? - 1} + 1 ≤ 2^{2? - 1} + 2^{2? - 1} = 2 × 2^{2? - 1} = 2^{2?}；歸納得證。

如果，將不超過 x 的 素數個數，記為 π(x)，則上面的命題等價于：

π(x) > log?(log?x)

因為：

對于任意 x ≥ 2 ，顯然有 唯一正整數 r 使得：2^{2??1} ≤ x < 2^{2?}，● 由上面的左邊不等式得到：π(2^{2??1}) ≤ π(x) ，而前面已經證明了 p? ≤ 2^{2??1}，而 到 p? 的素數 當然是 r 個 所以：r ≤ π(2^{2??1})，于是，最終有：r ≤ π(x)，● 由上面的右邊不等式得到：log?(log?x) < r，綜上可到：log?(log?x) < π(x)。

素數的定義雖然很簡單，但是確意想不到的麻煩！數學家至今依然沒有找到素數在正整數中的準確分布規律。

（楊老師<@楊式素數>，在這方面很有研究，大家有興趣可以去他那里請教。）

（黎曼猜想有助于解決素數分布問題！）

（退而求其次，數學家還發明的 偽素數的概念：

如果 n | 2? - 2，稱 n 為 偽素數，如果 對于任意 整數 a 都有 n | a? - a 稱 n 為 絕對偽素數。

關于，偽素數分布 也是一個研究方向。）

除了 2 其它素數都是 奇數，2 是最小的素數，3 是最小的奇數素數。

兩個相鄰的奇數如果都是素數稱為孿生素數，例如：3 和 5，5 和 7 ， 11 和 13， ...。

三個相鄰奇數是素數的情況，只能是： 3，5，7 這一種情況，因為：

假設，相鄰三個相鄰奇數，a, b, c > 3 都是素數，其中 b = a + 2，c = a + 4。由于 a 是素數，因此 3 ? a（? 表示 不能整除）于是 a = 3n + 1 或 3n + 2。● 當 a = 3n + 1 時，b = a + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3(n+1)，顯然 3 | b，故 b 不是素數，矛盾；● 當 a = 3n + 2 時，c = a + 4 = 3n + 2 + 4 = 3n + 6 = 3(n + 2)，顯然 3 | c，故 c 不是素數，矛盾；

以上證明，也說明了三個以上相鄰的奇數是素數不可能。

于是，研究特殊的 孿生素數 就有了價值。但是 比 素數 還不爭氣，數學家連孿生素數是否有無窮多個都沒辦法證明。

（數學家 張益唐 在這方面取得了 巨大突破！）

最后，和素數相關的一個概念是 兩個整數 a, b 互素，即 a， b 之間 a ? b 并且 b ? a，兩個素數一定互素，例如：

3, 5

但兩個 合數 也可以 互素，例如：

9, 25

互素在代數里也同樣至關重要。

(小石頭對于《數論》是門外漢，頭條里作這方面研究的大神眾多！小石頭在這里純粹是班門弄斧，歡迎各位老師蒞臨指導！）