自然常數e是什么？

e (自然常數, 也稱為歐拉數)是自然對數函數的底數. 它是一個無理數, 就是說小數點后面無窮無盡, 永不重復.

e≈2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190......

e 的來歷

與我們更熟知的兩個無理數 Pi 和 √2 不同, 它不是由數學家由幾何問題上發現而來的, 而是出自一個金融問題. 我們說 e 表示增長率和變化率的常數. 但是它為什么和增長率有關呢? 讓我們回到來 17 世紀, 看看發現 e 的第一人：數學家雅各布·伯努利以及他所研究的相關問題. (下圖為伯努利家族以及歐拉)

假設在銀行存了 1 $ , 而銀行提供的年利率是 100%, 也就是說 1 年后連本帶息, 你會得到 2 塊錢. 這個非常容易理解是吧?

那么現在假設半年就計算一次利息, 就是半年利率為 50% , 這種方案最終一年后的收益會不會比剛才更好一些呢? 計算如下過程: 年中計息一次總共是 1.5 $, 然后下半年連本帶息年末就為 2.25 $:

這樣看來一年后共會獲得 2.25 塊錢. 恩, 看起來不錯啊! 那現在計算利率周期如果再短一些會怎么呢? 再來假設每個月結算一次呢? 月利率為 1/12 , 最終得到大約 2.61304 塊錢, 這個方案會又好一些.

現在可以看出這樣的規律, 利息的周期越短, 收益就更好. 那就讓我們繼續縮短計息的周期, 變為每周計算, 計息的次數就是 52 次 .

甚至可以計算天利率, 或者小時, 秒來計算. 當然年末所獲得的錢亦會增多. 不過雅各布.伯努利發現隨著 n 趨于無窮, 對于這樣的連續復利存在著一個極限值, 這個數值其實就是 e:

也就是對于這個式子的極限值將是多少呢?

伯努利知道會是一個 2~ 3 直接的數, 但最終的的結果很可惜他并沒有計算出來. 這個問題由 50 年后的萊昂哈德·歐拉借助下面的公式計算出來小數點后 18 位 2.718281828459045235...... 這就是描述增長率的自然常量 e 來歷.

e 是無理數

并且歐拉借助連分式的形式證明了 e 是一個無理數, 觀察這個連分數的形式(最左側) 1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10.... 也就是說這種能夠一直被處下去的連分數, 那就意味著它是個無理數.

e 在微積分中性質

e 是描述增長率的自然常量, 并且還是唯一具有下面性質的函數: 這個函數曲線上的每一個點的 y 值, 在該點的斜率和面積都是相同的. x =1 時, 函數值就等于 e. 斜率也是 e, 而曲線下的面積也是 e.

也正是因為這主要性質, 使得它成為了微積分的你最喜歡見到函數(微積分也正是描述變化率, 極限求和的數學). 所以當在微積分課程中, 凡是遇到 e 的計算, 計算會簡單一些.

e 出現在最美數學公式 - 歐拉恒等式

最后既然提到了 e , 通常會提到將所有著名的常數出現在同一個方程 - 歐拉恒等式(Euler's identity), e^(iπ)+1=0. 被譽為最美的數學公式. 這個曾在 [遇見數學] 回答過的問題中, 這里不再贅述. (完)

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